各位，小女子有一道概率题不会做，希望大家解答

TimeT 发表于 2013-9-16 18:11
7楼没有做出答案。我来说我的答案：1554。不知7楼是否能得出一样答案（我没完全读懂7楼的方法，而且写了一 ...

写出来看看吧。

reduce_fat 发表于 2013-9-18 10:24
写出来看看吧。

我的计算过程如下，本人水平有限，欢迎大家批评指正！同时感谢版主的慷慨！

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(1) 第一步，先计算当m=1时（即出现1个6需要掷骰子的）次数期望计算：

令X为出现1个6时掷骰子的总次数，X是个随机变量，其概率分布为：
- X=1 (第1次就出现6) 的概率=1/6
- X=2 (第2次出现6且第1次未出现6）的概率=5/6×1/6
- X=3 (第3次出现6且之前都未出现6）的概率=(5/6)^2*1/6
- ...
- X=i+1,(第i+1次出现6且之前都未出现6）的概率=(5/6)^i/6

求X的期望,按期望定义得E(X)=1*(1/6) + 2* 5/6×1/6 + ... (i+1)* (5/6)^i*1/6  = 1/6* [1 + 2* 5/6+ ... (i+1)*(5/6)^i] (i -> 正无穷)
令上式中[  ]内的无穷数列之和为A，则E(X)=A/6，下面来证明A=36

因为A=1 + 2* 5/6+ 3* (5/6)^2... (i+1)*(5/6)^i (i -> 正无穷)
则两边×5/6得：A*5/6 = 5/6 + 2* (5/6)^2+ ... i*(5/6)^i+(i+1)*(5/6)^(i+1) (i -> 正无穷)
两式相减得：A-A*5/6= 1+ 5/6 + (5/6)^2 + ...+(5/6)^i - (i+1)*(5/6)^(i+1) (注：最后一项趋近于0，此前就是个无穷等比数列）
等号右边可由无穷等比数列求和公式（最后一项趋近于0，已忽略）得 A-A*5/6 = 1/(1-5/6) = 6, 所以A=36

所以，E(X)=A/6=6，即要出现1个6需要掷骰子的次数期望=6次

(2) 第2步，再计算当m=2时，即连续出现2个6需要掷骰子的次数期望计算：

令X(1), X(2), ..., X(i)与第一步中X一样分布的随机变量，即X(1), X(2) ..., X(i)独立同分布（同上面X的分布）
令Y为连续出现出现2个6时掷骰子的总次数，Y是个随机变量，其概率分布为：
- Y=X(1)+1         (当掷骰子X(1)次后出现第一个6后又加掷一次时出现还是6) 的概率=1/6
- Y=X(1)+1+X(2)+1 (当掷骰子X(1)次后出现第一个6后又加掷一次时不是6，于是再掷骰子X(2)次又出现一个6后又加掷一次时出现6）的概率=5/6×1/6
- Y=X(1)+1+X(2)+1+X(3)+1 (当掷骰子X(1)次后出现第一个6后又加掷一次时不是6，于是再掷骰子X(2)次后又出现一个6后又加掷一次时还不是6，于是再掷骰子X(3)次又出现一个6后又加掷一次时出现6）的概率=(5/6)^2×1/6
- 于是类推，Y=X(1)+1+X(2)+1+...X(i)+1=X(1)+...X(i)+1*i 的概率=(5/6)^(i-1)×1/6

为书写简化，令S(i)=X(1)+...+X(i)，注S(i)是随机变量

求Y的期望,按期望定义得E(Y)=E((S(1)+1)*(1/6)+(S(2)+2)*(1/6*5/6)+...+(S(i)+i)*(1/6*(5/6)^(i-1))),因为S(i)是随机变量，所以右边得套上E(...)才行。
=E((S(1)+1)*(1/6)+(S(2)+2)*(1/6*5/6)+...+(S(i)+i)*(1/6*(5/6)^(i-1)))
=E(S(1)*1/6+S(2)*(1/6*5/6)+...+(S(i))*(1/6*(5/6)^(i-1))+(1*1/6+2*1/6*5/6 + ...+i*1/6*(5/6)^(i-1)) 【注：无穷数列正好符合A的定义，A在第一步中已定义和计算，A=36】
=E(S(1))*1/6+E(S(1))(1/6*5/6)+...+E(S(i))*(1/6*(5/6)^(i-1)) + 1/6*A
【另注：E(S(1))=E(X(1))=根据第一步的结果=6=E(X) [X(1), X(2), ..., X(i)与第一步中X是同分布，所以期望同]，E(S(2))=E(X1)+E(x2)=E(X)*2=6*2, ... E(S(i)=6*i=E(X)*i】
=E(X)*1/6+E(X)*2*(1/6*5/6)+...+E(X)*i*(1/6*(5/6)^(i-1))  + 1/6*A 【注：E(x)=6, A=36】
=E(X)*1/6*[1+2* 5/6+ 3* (5/6)^2... (i)*(5/6)^(i-1)]+1/6*A 【注：中刮号内无穷数列之和又正好=A】
= E(X)*1/6*A+1/6*A 【注：E(x)=6, A=36】
= (E(X)+1)*(A/6) 【注：E(x)=6, A=36】
= 42

(3) 第3步，再计算当m=3时，即连续出现3个6需要掷骰子的次数期望计算：

令Y(1), Y(2), ..., Y(i)与第2步中Y一样分布的随机变量，即Y(1), Y(2) ..., Y(i)独立同分布（同上面Y的分布）
令Z为连续出现出现3个6时掷骰子的总次数，Z是个随机变量，其概率分布为：...

你会发现Z与Y的关系如同Y与X的关系。用同第2步中一样的推导过程（相当于把上面第2步中的E(Y)换成E(Z)，E(X)换成E(Y)）可得：

E(Z)= (E(Y)+1)*(A/6)=(42+1)*6 = 258

以此类推，当m=4时，即连续出现4个6需要掷骰子的次数期望= (258+1)*6=1554

冰城主人 发表于 2013-9-16 13:25
为了这100元也应该做一做    当n大于等于4时，n+4次出现连续4次6的概率等于最后4次连续出现 ...

貌似，这个有问题，右边项应该是E(N)-3，因为你的Sx是从N=4开始累加的，所以要减去S1、S2、S3，貌似是这样的，不知道对不对

TimeT是对的，与其纠结于答案，更希望大家就题目展开良性的讨论

reduce_fat 发表于 2013-9-18 10:23
詹版很有钱的，200多万金币，你们俩都拿100应该都不成问题。我不是这个版的斑竹，所以没有权限奖励很多的 ...

是的，最后粗心了，修正一下，最后答案（6^(m+1)-6)/5

实际上不从4到无穷直接从1到无穷求和就不会漏加了

TimeT 发表于 2013-9-18 19:34
我的计算过程如下，本人水平有限，欢迎大家批评指正！同时感谢版主的慷慨！

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谢谢你喔，你的答案很精彩。。

高手很多啊