[求助]证明替代效应对商品购买量的变化带来的影响

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假设有两种商品甲和乙，如果乙的价格下降了，而甲的价格不变。请用文字和数学（不能用图象）来证明（或说明）：如果要保持在同一个效用水平，那么甲商品的购买量将比原来减少，而乙商品的购买量将比原来增多。

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关键词：替代效应 不能用 求助 效应 商品

这个问题用图象说明是极其简单的，但谁能用文字和数学来说明呢？因为我总是想不清这个替代效应在现实中具体是怎样的，也即经济人在心中是怎样计算会导致甲减少而乙增多的结果的，而在心中计算肯定不会用图象，而是用一种“感觉”，但消费者具体是怎样感觉出这样的结果呢？

举一个例子，苹果与橘子，假定两者都是1元1斤，这是会有一个均衡，或者是消费者会有一个具体的选择的量，现在橘子的价格下降为0.5元1斤。作为一个经济人消费者，消费会有什么变化，原来价格一样时，对消费者消费的最后一个橘子和苹果中得到的效用是相等的，现在橘子的价格降低了，消费者如果增加1斤橘子减少1斤苹果，效用不变；消费者如果增加2斤橘子减少1斤苹果，效用增加，而化的钱不变。结果就是... ...

masquake，我弄不明你的意思。即使原来价格是一样的，但消费者消费的最后一个橘子和苹果得到的效用应该是不相等的，毕竟要讨论的不是效用最大化而是消费约束线与等效用曲线，而且，“消费者如果增加2斤橘子减少1斤苹果，效用增加”也是非确定的，况且我要的是效用不变。你应该没明白我的意思。

为了保持在同一效用水平，而且花费最少，为什么会甲减少乙增多呢？

大家能不用具体的事例而用说理论证来证明吗？

价格一样，消费的苹果和橘子的最后一斤（最后一单位）得到的效用是相等的。如果不相等，花同样的钱，你肯定会买效用多的，那就不是均衡了。

楼主不知是否了解希克斯（Hicksian）需求函数？

希克斯需求函数（H）与马歇尔需求函数（M）的区别在于：对“收入”的理解不同。H认为“收入”是“某一效用水平”（可理解为某种“实际收入”），而M认为“收入”是“某一货币水平”（可理解为某种“名义收入”）。

保持效用水平不变的替代即“希克斯替代”，即本题中的替代，只要求出相应的希克斯需求函数，自然得解（从代数方法）。

消费者最优规划问题可从两条等价的路线解决（即对偶）

设各商品的价格外生给定（局部均衡分析视角）

对于既定的效用水平，（货币）支出最小化，得到支出函数与H需求函数；

对于既定的（货币）收入水平，效用最大化，得到间接效用函数与M需求函数。

其中各函数之间的恒等式，是学习中高级微观理论所必须熟练掌握的。

mu1/p1=mu2/p2。

若p1上升，左右两边要保持相等，mu1必须上升，1的消费量减少，这样从商品1中得到的总效用便会减少。要保持效用不变，从2中获得的效用必须增加，于是2的消费量必须增加。

插一句与本题无关的话，如果H需求函数与M需求函数的来龙去脉没有弄清楚，最好不要讨论“吉芬商品”的问题，因为不了解它们，吉芬商品的定义必然模糊，关于一个有不同定义的概念的争论是没有意义的。

以下是引用reasoner在2005-6-8 22:31:15的发言：…mu1/p1=mu2/p2。

若p1上升，左右两边要保持相等，mu1必须上升，1的消费量减少，这样从商品1中得到的总效用便会减少。要保持效用不变，从2中获得的效用必须增加，于是2的消费量必须增加。

这里有一个反馈环，在保持效用水平不变的情况下若想以此等式说明本问题，必须说明mu/p的值是否变化。