用数学方法说明效用MU不能导致MRS递减

求详细的解答过程。

假设两种商品，效用函数为u(x1,x2)，u1>0,u2>0
可以求解得到dMRS/dx1=(u2^2*u11-2*u1*u2*u12+u1^2*u22)/u2^3   (可以参考尼克尔森英文版教材的P81)
从上式中，可以看出，MU递减，也就是u11<0,u22<0，并不能保证dMRS/dx1<0，还取决于u12的符号，楼主可以验证u=xy、u=(xy)^2以及u=lnx+lny，三者都是MRS在x上递减，但是MU分别是不变、递增和递减。

MU递减和MRS递减的关系，我觉得问题就出在效用函数的凹性上了。我们知道下面三个命题是没有问题的。
1.如果u是凹的，则必然是拟凹。
2.如果u是凹的，则MU递减
3.如果u是拟凹的，则MRS递减
所以问题的关键就是MU递减能否得到u是凹的，答案是不能的。因为mu递减，只能保证u11<0,u22<0，也就是海塞矩阵的对角线为负。以两种商品为例，仅有对角线为负，我们并不能保证海塞矩阵是负定的，必须还要有u11u22-u12u21>0。如果这个条件满足了，也就是是说海塞矩阵负定，那么u是凹的，则u必然拟凹，因此MRS也就递减了。

falelang 发表于 2013-12-19 17:56
假设两种商品，效用函数为u(x1,x2)，u1>0,u2>0
可以求解得到dMRS/dx1=(u2^2*u11-2*u1*u2*u12+u1^2*u22)/u2 ...

谢谢，大神。昨天就麻烦您给回答了一个效用函数存在性的问题。看来您起码是西方经济学已经学到家了。感谢！

rawdj 发表于 2013-12-19 18:40
谢谢，大神。昨天就麻烦您给回答了一个效用函数存在性的问题。看来您起码是西方经济学已经学到家了。感谢 ...

哪有啊，还有很长的路要走呢，一起加油哈