数学奥数题

黑板上写着若干个（有限多个）非零实数．求证：其中必有一数，其它每个数既不等于它的3倍，也不等于它的二分之一

假设，
      所有数都存在其他数，是他的3倍或1/2，
则，
     对其中n个数有，以下序列：
x(2)=p(1)*x(1) ,....., xn=p(n)*x(n-1),其中，p(i) = 3或1/2

由于假设，必定有一个数
             x(k) = p*x(n),
且x(k) 在x(1)...x(n)之中。
（因为，如果x(k)不在序列中，则可以将x(k)添加到队列最后，让其存在于队列中。）
而
            x(k) = p(k)*p(k-1)*...*p(1)*x(1)
则有，
            p(k)*p(k-1)*...*p(1)*x(1) = p*p(n-1)...p(1)
得到
             p*p(n-1)*...p(k+1) = 1 ,因为p = 1/2或3
所以，
           (1/2)^a * 3^b = 1， a+b >= 1
即，
           (3^b)/(2^a) = 1
因为a\b有限，为非负整数
所以,3^b不能被2^a整除（a>0）
当a = 0时，b = 0,等式才成立。
a+b >= 1,矛盾。

所以，假设错误。
得证。

假设，
      所有数都存在其他数，是他的3倍或1/2，
则，
     对其中n个数有，以下序列：
x(2)=p(1)*x(1) ,....., xn=p(n)*x(n-1),其中，p(i) = 3或1/2

由于假设，必定有一个数
             x(k) = p*x(n),
且x(k) 在x(1)...x(n)之中。
（因为，如果x(k)不在序列中，则可以将x(k)添加到队列最后，让其存在于队列中。）
而
            x(k) = p(k)*p(k-1)*...*p(1)*x(1)
则有，
            p(k)*p(k-1)*...*p(1)*x(1) = p*p(n-1)...p(1)
得到
             p*p(n-1)*...p(k+1) = 1 ,因为p = 1/2或3
所以，
           (1/2)^a * 3^b = 1， a+b >= 1
即，
           (3^b)/(2^a) = 1
因为a\b有限，为非负整数
所以,3^b不能被2^a整除（a>0）
当a = 0时，b = 0,等式才成立。
a+b >= 1,矛盾。

所以，假设错误。
得证。

楼上的牛

感谢楼上的回答，我看看先

很牛，感谢楼上的！