金融随机分析习题求解啊！布朗运动的，大神们帮帮忙~

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Let W(t) be a standard Brownian Motion starting from zero and M(t) be its running maximum, M(t)=max B(s), 0≤s≤t
For fixed time t compute the density of random variable M(t)-B(t)

求解啊帮帮忙

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关键词：金融随机分析 习题求解 随机分析 布朗运动 Standard standard

ok, I will give a breif solution,
1. For any two random variables X and Y (in our case, M(t) and B(t)), given their joint density f(X,Y), what's the density of their difference Z=X-Y?

The distribution function of Z, F(z)=P(Z<=z)=P(X-Y<=z)=∫∫_D f(x,y) dxdy, where D={(x,y): x-y<=z and x>=y, x>=0}, (note x>=y is for our special case M(t)>=B(t), and since B starts from 0, M(t)>=0)


F(z)=∫_0^inf[ ∫_x-z^x f(x,y) dy]dx


f(z)=F'(z)=∫_0^inf f(x,x-z) dx


2. Check your text book, the joint density:
\[f(x,y)=\frac{2(2x-y)}{t\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(2x-y)^2}{2t}}\]

where: x>=y, x>=0, calculate the integral:

f(z)=∫_0^inf f(x,x-z) dx

It's done.


best,

Chemist_MZ 发表于 2014-3-23 23:44
ok, I will give a breif solution,
1. For any two random variables X and Y (in our case, M(t) and B( ...

谢谢，很是正确，但是用到了我们没学过的东西，很是感谢

Chemist_MZ 发表于 2014-3-23 23:44
ok, I will give a breif solution,
1. For any two random variables X and Y (in our case, M(t) and B( ...

请问这些公式是怎么输入的？

euser2011 发表于 2014-3-28 12:15
请问这些公式是怎么输入的？

点击回复->高级模式->上端工具栏靠右有一个蓝色的按钮TEX, 使用latex的syntax输入。我也是刚发现原来论坛还支持latex的公式输入。

best，

Chemist_MZ 发表于 2014-3-28 19:46
点击回复->高级模式->上端工具栏靠右有一个蓝色的按钮TEX, 使用latex的syntax输入。我也是刚发现原来论坛 ...

谢谢！                     

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求问还有其他方法做嘛？

Yves玉 发表于 2018-12-7 20:09
求问还有其他方法做嘛？

使用反射原理（reflection principle for BM）就好啦，参见protter

徐士杰 发表于 2019-1-7 07:32
使用反射原理（reflection principle for BM）就好啦，参见protter

谢谢！！