Gerber–Shiu+Risk+Theory by Andreas E. Kyprianou

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1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 The Cramér–Lundberg Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 TheClassicalProblemofRuin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Gerber–Shiu Expected Discounted Penalty Functions . . . . . . 4
1.4 Exotic Gerber–Shiu Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 TheWald Martingale and the Maximum . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Laplace Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 First Exponential Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Esscher Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Distributionof theMaximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 The Kella–Whitt Martingale and the Minimum . . . . . . . . . . . 17
3.1 The Cramér–Lundberg Process Reflected in Its Supremum . . . . 17
3.2 AUsefulPoissonIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Second Exponential Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Distributionof theMinimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 The Long-Term Behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Scale Functions and Ruin Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1 Scale Functions and the Probability of Ruin . . . . . . . . . . . 27
4.2 Connection with the Pollaczek–Khintchine Formula . . . . . . . 30
4.3 Gambler’sRuin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 The Gerber–Shiu Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1 Decomposing Paths at the Minimum . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Resolvent Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 MoreonPoissonIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Gerber–Shiu Measure and Gambler’s Ruin . . . . . . . . . . . . 41
5.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Reflection Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1 Perpetuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2 Decomposing Paths at the Maximum . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3 Derivative of the Scale Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.4 Present Value of Dividends Paid Until Ruin . . . . . . . . . . . . 53
6.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Perturbation-at-Maximum Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1 Rehung Excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Marked Poisson Process Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Gambler’s Ruin for the Perturbed Process . . . . . . . . . . . . . 61
7.4 Continuous Ruin with Heavy Perturbation . . . . . . . . . . . . 63
7.5 Expected Present Value of Tax at Ruin . . . . . . . . . . . . . . 64
7.6 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 Refraction Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.1 Pathwise Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2 Gambler’sRuinandResolventDensity . . . . . . . . . . . . . . 70
8.3 ResolventDensitywithRuin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.4 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9 Concluding Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.1 Mixed-Exponential Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.2 Spectrally Negative Lévy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.3 Analytic Properties of Scale Functions . . . . . . . . . . . . . . 84
9.4 Engineered Scale Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

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