请教：有现金漏出时货币创造乘数的公式

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假设中央银行投放100万元的货币，法定准备金率=20%，现金漏出率=5%，超额储备率=0。按照宏观经济中基本的公式计算，每一步创造出来的活期存款构成一个等比数列，最终总的活期存款额=100/（20%+5%）=400.

但是我现在具体的分析了一下每一步的创造过程，发现和给定的公式不符合，请大家帮我看一下我的理解错在哪里？

甲存入甲银行100万元，甲银行留下20万元的法定准备金，贷80万元给乙。   （ 甲银行的存款是100万元）

乙拿到80万元，现金漏出4万元（80×5%），存进乙银行76万元，乙银行留下15.2万元的法定准备金，贷给丙60.8万元。                                                                                                               （乙银行的存款是76万元）

丙拿到60.8万元，现金漏出3.04万元（60.8×5%），存入丙银行57.66万元，（丙银行的存款是57.66）

按照我这样理解的话，这三个步骤产生的存款明显不存在等比关系，所以肯定是有问题的。

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关键词：货币创造乘数 法定准备金率 活期存款 准备金率 中央银行 货币 现金 乘数 公式

以下是引用liwei0220在2008-3-31 22:24:00的发言：甲存入甲银行100万元，甲银行留下20万元的法定准备金，贷80万元给乙。   （ 甲银行的存款是100万元）

第1步就应该有现金漏出，甲应存入95万元。

即使第一步就漏出也还是不对的。

这样的话：

甲银行：（100-100×5%）×80%=100×95%×80%

乙银行：100×（95%×80%）×（95%×80%）

丙银行：100×（95%×80%）×（95%×80%）×（95%×80%）

虽然是一个等比数列，但是和公式计算的还是不一样。

设现金漏出率a，法定准备金率b，则（理论）货币乘数=1/(a+b-ab)

就本题而言，乘数应为1/0.24=1/(1-0.95*0.8)=4.1667

（假设储户都以活期存款形式存款）活期存款总额=100*0.95*0.8/(1-0.95*0.8)=316.67

准备金总额=100*0.95*0.2/(1-0.95*0.8)=79.17

流通中现金总额=100*0.05/(1-0.95*0.8)=20.83

基础货币总额=79.17+20.83=100

通过EXCEL的公式计算，各期情况见下表：

派生存款期数	基础货币额	现金漏出额	银行存款额	法定准备金额	银行可贷金额
1	100	5	95	19	76
2		3.8	72.2	14.44	57.76
3		2.888	54.872	10.9744	43.8976
4		2.19488	41.70272	8.340544	33.362176
5		1.6681088	31.6940672	6.33881344	25.35525376
6		1.267762688	24.0874911	4.817498214	19.26999286
7		0.963499643	18.3064932	3.661298643	14.64519457
8		0.732259729	13.9129348	2.782586969	11.13034787
9		0.556517394	10.5738305	2.114766096	8.459064385
10		0.422953219	8.03611117	1.607222233	6.428888932
11		0.321444447	6.10744449	1.221488897	4.885955589
12		0.244297779	4.64165781	0.928331562	3.713326247
13		0.185666312	3.52765993	0.705531987	2.822127948
14		0.141106397	2.68102155	0.53620431	2.14481724
15		0.107240862	2.03757638	0.407515276	1.630061103
16		0.081503055	1.54855805	0.30971161	1.238846438
17		0.061942322	1.17690412	0.235380823	0.941523293
18		0.047076165	0.89444713	0.178889426	0.715557703
19		0.035777885	0.67977982	0.135955964	0.543823854
20		0.027191193	0.51663266	0.103326532	0.413306129
21		0.020665306	0.39264082	0.078528165	0.314112658
22		0.015705633	0.29840703	0.059681405	0.23872562
23		0.011936281	0.22678934	0.045357868	0.181431471
24		0.009071574	0.1723599	0.03447198	0.137887918
25		0.006894396	0.13099352	0.026198704	0.104794818
26		0.005239741	0.09955508	0.019911015	0.079644062
27		0.003982203	0.07566186	0.015132372	0.060529487
28		0.003026474	0.05750301	0.011500602	0.04600241
29		0.00230012	0.04370229	0.008740458	0.034961832
30		0.001748092	0.03321374	0.006642748	0.026570992
31		0.00132855	0.02524244	0.005048488	0.020193954
32		0.001009698	0.01918426	0.003836851	0.015347405
33		0.00076737	0.01458003	0.002916007	0.011664028
34		0.000583201	0.01108083	0.002216165	0.008864661
35		0.000443233	0.00842143	0.001684286	0.006737142
36		0.000336857	0.00640029	0.001280057	0.005120228
37		0.000256011	0.00486422	0.000972843	0.003891373
38		0.000194569	0.0036968	0.000739361	0.002957444
39		0.000147872	0.00280957	0.000561914	0.002247657
40		0.000112383	0.00213527	0.000427055	0.00170822
合计		20.83297745	395.826572	79.16531433	316.6612573

当第一步没有漏出时（可能更符合实际），各期情况如下表：

派生存款期数	基础货币额	现金漏出额	银行存款额	法定准备金额	银行可贷金额
1	100		100	20	80
2		4	76	15.2	60.8
3		3.04	57.76	11.552	46.208
4		2.3104	43.8976	8.77952	35.11808
5		1.755904	33.362176	6.6724352	26.6897408
6		1.33448704	25.3552538	5.071050752	20.28420301
7		1.01421015	19.2699929	3.853998572	15.41599429
8		0.770799714	14.6451946	2.929038914	11.71615566
9		0.585807783	11.1303479	2.226069575	8.9042783
10		0.445213915	8.45906438	1.691812877	6.767251508
11		0.338362575	6.42888893	1.285777786	5.143111146
12		0.257155557	4.88595559	0.977191118	3.908764471
13		0.195438224	3.71332625	0.742665249	2.970660998
14		0.14853305	2.82212795	0.56442559	2.257702358
15		0.112885118	2.14481724	0.428963448	1.715853792
16		0.08579269	1.6300611	0.326012221	1.304048882
17		0.065202444	1.23884644	0.247769288	0.99107715
18		0.049553858	0.94152329	0.188304659	0.753218634
19		0.037660932	0.7155577	0.143111541	0.572446162
20		0.028622308	0.54382385	0.108764771	0.435059083
21		0.021752954	0.41330613	0.082661226	0.330644903
22		0.016532245	0.31411266	0.062822532	0.251290126
23		0.012564506	0.23872562	0.047745124	0.190980496
24		0.009549025	0.18143147	0.036286294	0.145145177
25		0.007257259	0.13788792	0.027577584	0.110310335
26		0.005515517	0.10479482	0.020958964	0.083835854
27		0.004191793	0.07964406	0.015928812	0.063715249
28		0.003185762	0.06052949	0.012105897	0.048423589
29		0.002421179	0.04600241	0.009200482	0.036801928
30		0.001840096	0.03496183	0.006992366	0.027969465
31		0.001398473	0.02657099	0.005314198	0.021256794
32		0.00106284	0.02019395	0.004038791	0.016155163
33		0.000807758	0.0153474	0.003069481	0.012277924
34		0.000613896	0.01166403	0.002332806	0.009331222
35		0.000466561	0.00886466	0.001772932	0.007091729
36		0.000354586	0.00673714	0.001347428	0.005389714
37		0.000269486	0.00512023	0.001024046	0.004096183
38		0.000204809	0.00389137	0.000778275	0.003113099
39		0.000155655	0.00295744	0.000591489	0.002365955
40		0.000118298	0.00224766	0.000449531	0.001798126
合计		16.66629206	416.659549	83.33190982	333.3276393

公式推导是：

设第n次存款额是An,存款准备金率a,漏出率是b

     则，An=An-1(1-a)(1-b)

     则 当n很大时，Sn=A1/[1-（1-a）（1-b）]

                     =100/(1-0.8*0.95)=416.67

        即公比是：(1-a)(1-b)

                  

活期存款总额=100*0.95/(1-0.95*0.8)=395.8

liwei0220 发表于 2008-3-31 22:24
假设中央银行投放100万元的货币，法定准备金率=20%，现金漏出率=5%，超额储备率=0。按照宏观经济中基本的公 ...

这楼里没一个清楚的

financialm 发表于 2021-12-4 20:57
这楼里没一个清楚的

明明分母是一样的，都是D,ok?第n个银行储蓄都是（1-rd–rc–re）的n减1次方乘以R