怎么用Monte Carlo给compound option定价？

pure MC的方法，说一下我的想法：

1.先模拟得到T1的股价S1和T2的价格S2
2.以S1做初始价格，模拟得到期限T1-T2的call的价格C1
3.C1和K1比一下，值不值得买
4.（1）买了call，和S2比较一下，最终赚了X=？
   （2）没买call，最终赚了X=0
5.重复1-4，得到若干X
6.把上边所有的X平均一下，再贴现。

计算量骤增的地方在第2步，所以这也使可能存在创新的地方。
如果你使用的是显示Euler法模拟heston模型，第2步产生的路
径是可以重用到其他地方的。
显示Euler法中，波动率路径不受价格路径的影响，相反最终
价格只受到初始价格和相应波动率路径的影响。如果固定波动
率路径，最终价格之比=初始价格之比，这和GBM情况下是一
致的。

为达到路径重用的目的，在第2步中要记住每一条波动率路径L，
和其相应的最终价格S。当进行第二轮模拟的时候，沿用上一轮
的得到的波动率路径，这样只要简单换算比例，就可以得到若干
最终价格，从而得到新的call价格。
因为重用了之前的波动率路径，模拟误差可能会变大，所以要
耍一个花招降低误差。显示Euler法中波动率路径的模拟有一连串
正态变量组成，最简单的花招就是用“反向变异”，把每个正态变量
的符号反过来，就可以得到“对偶路径”。用对偶路径产生的“抵消效应”把方差拉低。

欢迎讨论

xuruilong100 发表于 2014-6-24 22:25
pure MC的方法，说一下我的想法：

1.先模拟得到T1的股价S1和T2的价格S2

想法很好，不过你固定了vol的路径，然后simulate不同的price，算出在这条vol路径上的option price之后其实还是要再simulate不同的vol，然后再average。

另外MC其实本质上是逼近期望，期望的本质是积分，只有当vol和price没有correlation的时候才能完全交换计分顺序，即先simulate price conditional on vol，然后再simulate 不同的vol，但是如果两者存在correlation，那这种方法就不能用了。还是得老老实实一步一步simulate jointly。

不过你这种方法确实对没有correlation的model是管用的，因为conditional on vol，子期权其实就是BS公式（如果他是lognormal模型的话），因此就很容易。不过如果我们能直接得到T2时刻price和vol的joint distribution，不管是通过什么手段，那也一下子就能出来了。

best，

Chemist_MZ 发表于 2014-6-25 00:06
想法很好，不过你固定了vol的路径，然后simulate不同的price，算出在这条vol路径上的option price之后其实 ...

大牛啊

Chemist_MZ 发表于 2014-6-24 18:23
Interesting question.

The compound option is an option with K1 and T1 (mother option). The only d ...

THANK YOU！每有问题版主都能解决。

Assuming deterministic interest rate, the value is formally given by[LaTex]D(0, T_1) E[D(T_1, T_2)E((S_{T_2}-K_2)^+ | F_{T_1}) - K_1]^+[/LaTex]
where D(t, u) is the discount factor for the interval (t, u) and \[F_{T_1}\] is the information set .
What you can do is a Monte Carlo within Monte Carlo. That is, for each of n paths simulated until T_1, simulated m paths until T_2, in total youm need nm paths, for example, 100,000 by 10,000 paths.

Chemist_MZ 发表于 2014-6-25 00:06
想法很好，不过你固定了vol的路径，然后simulate不同的price，算出在这条vol路径上的option price之后其实 ...

对此，我想到个更一般的MC方法，基于那个著名的LSMC（最小二乘法MC，LONGSTAFF和SCHWARTZ 2001年的论文）方法。不知对否，请教一下：
构造一个bermudan option（称为M），M有两个行权日T1和T2，即：
可以选择T1行权（M就此终结）得到PAYOFF=K1，如果在T1不选择行权，则可以选择在到期日T2行权，PAYOFF=max(StockPrice - K2,0)
用LSMC方法可以算出此M的价值m（注意LSMC的好处就是可以避免simulation within simulation），令P=m-K1*exp(-r*T1)。
你会发现P正好应该是COMPOUND OPTION，即在T1时刻可以选择用K1价格买入CALL OPTION（T2到期，K2为行权价），的价值。因为N的PAYOFF与COMPOUND OPTION在任何情况下都一样。

在这个MC方法下，可以适用于多因素模型，即多个随机变量(Volatility可以是随机的，利率可以是随机的，而且各随机变量可以是correlated），没有simulation within simulation之忧，所以似乎能对付“更一般”的模型下的COMPOUND OPTION价值计算。

你看，对吗？请指教。

TimeT 发表于 2014-7-6 00:00
对此，我想到个更一般的MC方法，基于那个著名的LSMC（最小二乘法MC，LONGSTAFF和SCHWARTZ 2001年的论文） ...

Very good thinking。

我想了一下，说说我的看法，

你的payoff的复制是正确的：如果要满足compound option，开始持有m0和short K1份bond(T1 mature)

T1时刻如果m1<=k1 exercise, 得到k1和bond的short position抵消，因此payoff是0
m1>k1 no exercise, 得到0，payoff m1-K1。继续持有m1到T2就是m2

但是我觉得你要去check的一件事情是你的exercise boundary，看看是不是对于一个纯粹的Bermudan option，人们是不是会选择m1<=k1 exercise, m1>k1 no exercise, 如果一致，则定价正确，如果不一致则有偏差。因为其实我们知道exercise有利与否取决于exercise boundary而不能我们想exercise就exercise，不想就不exercise。就好比美式和欧式的put，美式put如果我选择到期才行权当然能复制欧式的payoff，但是这么做有些时候是不明智的，因此价格会不同。

Chemist_MZ 发表于 2014-7-7 02:05
Very good thinking。

我想了一下，说说我的看法，

谢谢，明白了。

TimeT 发表于 2014-7-6 00:00
对此，我想到个更一般的MC方法，基于那个著名的LSMC（最小二乘法MC，LONGSTAFF和SCHWARTZ 2001年的论文） ...

Within a simulation framework, LS monte carlo is the standard method for pricing compound options. However, if the number of your model factors <=3, PDE would be better and more straightfoward.