基础&应用数学社区：开放式数学讨论

2008年湖北省高校数学建模竞赛工作研讨会资料

包括07年Ｂ题.Ｃ题.Ｄ题的解答和另外一份研究资料

 

很好，很强大

数学测试5国外answer 冯的答案

[此贴子已经被作者于2008-6-1 16:07:55编辑过]

数学测试的TMXK答案：

 

[此贴子已经被作者于2008-6-1 17:06:18编辑过]

在竞赛期间

大家可以给选手提供相应的参考资料

过来顶下，努力提高自己中……

在线交流纪要

周六本想大家随意聊天，谁料到都保持沉默，“回炉”只好鼓励社区成员向群外数学顾问们提问。由“回炉”通过在线视频，传递内外的交流。不过这也证明了，社区是没有边界的，不加入同样可以交流，因为大多数数学顾问都没加入社区。

成员1：我想问需要学习哪几个数学软件
王专家：数学软件？看你要做什么。数学软件有三个常用的matlab,maple,mathematic.matlab对数值计算功能强； maple对符号计算比较强
strongart：数学软件我也没学过，那个好像偏应用了。

成员2：可以问一下 经济类 数学应该学到什么程度阿 谢谢
汪专家：数学应该学到什么程度回答：数三或是数四
strongart ：一个学到够用就行了啊，有时间的话可以把自己感兴趣的数学都学了。
 
成员3: 数学本科教育和研究生教育如何衔接
汪专家：主要是理论学习到应用。本科我们学的可以说是纯数学和基础。研究生要学会数学作为其他应用研究中的数学工具。当然，除了本身就是数学的研究生
王专家：这个指什么方面？研究生和本科生很多方面是不一样的，思路要改变，要能独立思考一些问题并解决这些问题

成员3：如果是这样，是否意味着，本科就没有学习独立思考和应用？是否意味着，本科生是无法应对社会需要的？是否意味着，如果要成为全面人才，就必须去读研究生
汪专家：可以这么说。通过我（数量经济学博士）的学习经历，我是这样看这个问题的 
  
成员3:恩，你也说到一个问题，目前部分硕士基本上也是不知应用和独立思考的？ 
汪专家：首先，大学四年，尽管不同于初高中阶段，有了专业取向.但是，中国的大学教育本身还是重理论，轻实践.那么，对于大学的在校教育还是有改进的必要和空间的。比如，加强学生的自主，自我思考能力的培养就是一个好的方向。你问道大学教育和研究生教育的衔接问题。众所周知，研究生教育，培养的目标，以不单纯是传授知识和技能。这就划分开了本科教育和研究生教育，在育人目标取向上的不同.当然，我们的研究生教育，和本科教育存在着相同的问题。从学校的教育到学生自身的学习，以前初高中教育时的被动学习‘习惯’，依然延续。一些学生，比如像主持人这样，曾经和我讲过，仿佛离开了老师，自己就产生了无所是从的状态。说了这么些，一个在人才培养上值得教育部门和学生本身都必须关注和加强的地方，那就是科学对人才的要求，独立思考的能力形成 
王专家：不是这样的，很多人才是不需要读研究生的. 要读这个是要有对专业有深入学习的需要，或是对做学术有兴趣，就可以读研究生/。  也就是大学的在校教育和毕业后的用人单位对学生的技能期望之间存在一定的距离。当然，这之间存在着一定的必然性
 
成员4: 我想请教下，理论计量经济学研究可行吗？目前国内学者主要是搞应用计量经济学研究，当然也有搞理论的，比如南开大学的张晓峒老师，华中科技的王少平老师，但并不是很多。如果我读博士想搞理论计量经济学研究，是否可行，还有就是您能简单介绍下当前理论计量经济学，除了大家一直再搞的单位根方面的研究，其他比较好的研究领域吗？谢谢！ 
   
香港理工的Yangyang顾问：“非常感谢您的信任。我认为张老师，王老师当然让人钦佩，但是国内的计量经济学水平实在拉国外很多很多。计量经济有的做的东西固然很多，我随便聚几个例子：   1。动态空间面板数据的GMM系统估计，虽然现在德国和葡萄牙有人用GMM做，但是对于空间自回归的普适性和小样本性质普遍不理想（推荐文章：Generalized Moments Estimation for Spatial Panel Data: Indonesian Rice Farming. American Journal of Agricultural Economics Volume 86 Issue 1 Page 185-198, February 2004 ）
 2。空间面板单位根过程（我们可以把传统的单位根过程理解为时间纬度的单位根，而把空间面板单位跟理解为空间的不稳定过程）。香港中文大学的Prof. Leung有过尝试，但是效果不好 3。空间计量的几个关键性检验普遍power很低，如何办？   这些都还是空间计量方面的，其他的东西太多拉。     我觉得做理论计量，一定要有很深厚的数学功底，要不然用用软件，写写小程序还是意思不大的。当然，要走经济研究的路，计量如何用功都不为过” 近日活动到此结束，感谢各位的交流。
 
成员4:：首先，感谢Yangyang顾问的热心指点，寥寥数语，令我感受颇深，从指出的研究思路中，让我明白了什么是前沿，回头一定把相关资料查到，仔细看看； 但也从Yang顾问的话语中感受到了做理论计量经济学的不易，国内的确距离国外太远了，这也许正是我决定搞理论计量经济学的原因吧！同时，谢谢回炉同志的联系和帮助，谢谢您！ 搞理论计量经济学，个人认为必须学好随机过程，如维纳过程，平稳分布，随机微积分等理论。

（tianbu博士今晚没来，因为现在是美国凌晨，另外，她补充I did not have QQ in the office。 that is the key point。她让“回炉”转告：very sorry about it）

 

[此贴子已经被cymbidium于2008-6-9 22:27:06编辑过]

在线交流纪要

成员1：

某市发生了一桩命案,受害者的尸体于晚上7:30被发现,法医是8:20赶到现场,测的尸体温度是32.6度,1小时后,尸体被抬走,测的温度是31.4度,室温在几个小时内保持在21.1度,此案最大的嫌疑人是张某,但张某称自己没罪,并有证人可以证明他下午一直在上班,5:00打了个电话,打完后就离开了公司,从张某的公司到兄案现场需走5分钟,现在的问题是:张某不在现场的证明能否把他排除在嫌疑人之外?(假设受害者的尸体在空气中的冷却速度与尸体和空气的温差成正比)参考数据: In0.8956=-0.11,e的-0.3575次方等于0.6977

 

用MATLAB软件包程序求解下列问题,只需写出程序过程,不必写出结果:

minf=5X11+6x12+10x13+4x22+8x22+12x23

x11+x12+x13=60

x21+x22+x23=80

s.t  x11+x21=45

x12+x22=75

x13+x23=40

xij>0(i=1,2;j=1,2,3

)

 

成员2：

从EXCEL中导入到MATLAB中的数据包含有NAN,如何把NAN替换成100呢?

 

数学天使:

男生追女生的超强数学建模分析

 

问题分析
    男生追女生，对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数Y(t)。
    首先，我们不考虑男生的追求攻势，则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析，我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度，于是引入疏远度函数X(t)。
    问题就转化为求解Y(t)和X(t)的相互作用关系。利用微分，很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生发起一轮轮的追求攻势，因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关，可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中，就可以找出攻势与Y(t)和X(t)的关系了。

 

模型假设
    1、t时刻A君的学业成绩为Y(t)；
    2、t时刻B女对A君的疏远度为X(t)；
    3、当A君没开始追求B女时B女对A君的疏远度增长（平时发现的A君的不良行为）符合Malthus模型，即dX/dt=aX(t)其中a为正常数。
    4、当Y(t)存在时，单位时间内减少X(t)的值与X(t)的值成正比，比例常数为b，从而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。
    5、A君发起对B女追求后，立即转化为B女对A君的好感，并设定转化系数为 α，而随着的A君发起对B女的追求，A君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为e。于是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。

 

模型构成
    由假设4和假设5，就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型：
    {dX(t)/dt=aX-bXY；dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c=αb. (1)
    这是一个非线性自治系统，为了求两个数X与Y的变化规律，我们对它作定性分析。令{aX-bXY=0；cXY-eY=0} 解得系统(1)的两个平衡位置为：O(0,0)，M (e/c,a/b)。从(1)的两方程中消去dt，分离变量可求得首次积分：
    F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2)
    容易求出函数F(X,Y)有唯一驻点为M(e/c,a/b)。再用极值的充分条件判断条件可以判断M是F的极小值点。同时易见，当X→∞（B女对A君恨之入骨）或Y→∞ （A君是一块只会学习的木头）时均有F→∞；而X→0（A君作了变形手术，B女对他毫无防备）或Y→0（A君不学无术，丝毫不学习）时也有F→∞。由此不难看出，在第一象限内部连续的函数z=F(X,Y)的图形是以M为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因而它与z=k(k＞0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k＞0)是环绕点M的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。

 

结果解释
    从生态意义上看这是容易理解的，当A君的学习成绩Y(t)下降时，B女会疏远 A君，疏远度X(t)上升；于是A君就又开始奋发图强，学习成绩Y(t)又上升了。于是B女就又和A君开始了来往，疏远度X(t)又下降了。与B女交往多了，当然分散了学习时间，A君的学习成绩Y(t)下降了。
    然而我们可证明，尽管闭轨线不同，但在其周期内的X和Y的平均数量都分别是一常数，而且恰为平衡点M的两个坐标。事实上，由(1)的第二个方程可得： dY/Ydt=cX- e,两端在一个周期时间T内积分，得：
    ∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3)
    注意到当t经过一个周期T时，点(X,Y)绕闭轨线运行一圈又回到初始点，从而：∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以，由(3)式可得：(∫Xdt)/T=e/c。
    同理，由(1)的第一个方程可得：(∫Ydt)/T=a/b。

 

模型优化
    考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为h，h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下，上述学业与疏远度的模型应变为：
    {dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY；dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4)
    将(4)式与(1)式比较，可见两者形式完全相同，前者仅是把(1)中X与Y的系数分别换成了a-h与e+h。因此，对(4)式有
    x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c，y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5)
    利用(5)式我们可见：攻势作用力h的增大使X’增加，Y’减少。

 

我的建议
    考试期间，由于功课繁忙，使得追求攻势减少，即h减小，与平时相比，将有利于学业成绩Y的增长。这就是Volterra原理。 此原理对男生有着重要的指导意义：强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果，反而不利与学业的成长；有时通过慢慢接触，慢慢了解，再加上适当的追求行动，女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低！

 

成员3：

  1. 设开始时的人口数为，时刻的人口数为，若人口增长率是常数，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为                     .

2. 设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为             .

3. 所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为

                                                  .

4. 设某种商品的需求量函数是而供给量函数是，其中为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是

 

谁能给我解决上面的题目          

 

成员4：

第２个　你怎么也问别人

第一问题是　人口学专业的才懂　

我给人口学的聊过　听说过这个模型　可我不懂

第４个　直接让两个函数相等　计算均衡价格

 

成员3：

第一题的答案很有疑问

他给出的是连续增长的

 

1988年《数学的实践与认识》3期

关于所谓增长率的连续计算问题

 

摘　要： 本文分析说明了无论是否采用增长率的连续计算方法，以A0为初始 量 ，r为增长率的变量A，经过时间t后的值都只能是 ；并指明了增长率的连续计算方法的错误所在。
 

增长率问题是我们经常遇到的一类问题，变量A的增长率即为单位时间内A的改变量与初始量A0 的比， 针对目前财经类微积分教材中比较普遍存在的问题 ，本文举例说明，对于以A0为初始量，以r 为增长率的变量A，经过时间t后的值应是，还是 ，这两者 之间有何关系；增长率的所谓“连续计算”是怎么回事。

设某饲养场有牛A0 头，其年增长率为r ，则一年末的养牛总数为 .   两年末的总数为，t（t为任意正数）年末的总数为

                                      (1)

　在任意单位时间内，例如从t=1.3到t=2.3时段内，可算出年增长率为

   　

 与给定的年增长率一致，所以计算t年后的养牛总数用公式(1)无疑是对的。
　　对这样的问题，财经类微积分用书中在讲极限时则采用了下述所谓“连续计算”的方法，其分析问题的过程是:
　　若年增长率为r，则年底总数为.

若每半年计算一次，则每半年增长率为，一年末的总数就为.若每年计算一次，则每年的增长率为，一年末的总数为 .
如果用这样的算法，一年内分成m次计算，则年末的总数为 .

如果一年内分无限多次计算，即令，则年末的总数为

 应用同样的分析方法可得，t年末的养牛总数为

                                                             　(2)

对同一个问题，有(1)和(2)两种不同的算法，有些书中则断言，(2)式由于连续计算的结果（见[5]，P196 ），甚至认为由(2)式计算的数为精确值（见[1]，P 77 ） 。
　　我们在下面分析指出，应用(2)式来计算是不妥当的。如上应用极限方法解决问题的错误在于： 若每半年计算一次，取每半年的增长率为，这实际上就是对年增长率r的否定，因为这样就算出年增长率为

                  

  同样，每 年计算一次，每 年的增长率取为，则年增长率为 

若令，则得年增长率为er-1。
　　这样不断改变计算周期的过程，也就是不断否定已知条件(给定的年增长率r)、不断增大误差的过程，所以由(2)式计算出的值绝不是原问题的精确值，而是改变了所给问题的条件（这也可理解为变成一个新的问题）的值 。

符合逻辑的方法应当是：如果根据给定的年增长率r来进行分期计算，每半年计算一次A的值，则每半年 的增长率x应满足(1+x)2=1+r。即， 同样地，若每 年计算一次，则每年的增长率为， 一年内计算次，则到年末的养牛总数为，这就是说，不论将一年分成 多少个周期计算，年增长率都是r，自然地，若令，年增长率还是r。
　　这就说明了，在给定年增长率为r的条件下考虑问题，在一年内无论是一次计算，还是多次计算，还是连续计算，年增长率都必定还是r.实际上，一个客观事物的某一量也不会因为计算方法的改变而会有两个不同的值。
　　在这里，我们可将(1)与(2)作一比较，将（1）式写成

　 　        

两边对求导数得          　           

　即                    

　这是一个微分方程，它反映了的增长速度与的值成正比，为比例常数。

同样，（2）式也可写成类似于（1）或的形式

　               

两端对求导得                                       

式也反映了的增长速度与的值成正比，比例常数为。

　　综上所述，(1)和(2)都反映了事物随时间的增长呈指函数规律，而只是其中的参数不同。这就是说，(1)和(2)所表述的是同一类问题中的两个不同的问题， 只不过是当为很小时，与可以互相近似代替。

通过以上分析可知，所谓增长率的“连续计算”问题只不过是用不断扩大误差的办法给出了原问题的一个近似值，所以，这种方法在理论上，计算上和实践上都应当说是没有什么意义，将这种方法用于分析细菌的繁殖，镭的衰变，物体的冷却以及复利率的计算问题都应当说是不适宜的。

 

 

成员5：

水厂建设问题

某城市拟建A、B两个水厂。从建造和经营两方面考虑，水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨。由于水资源的原因，A、B两个水厂日进水量总和不超过80万吨。A、B两个水厂共同担负供应六个居民区用水任务，这六个居民区的位置及拥有的家庭户数由表1给出，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.05元/吨公里。表1　各居民区的位置和拥有的家庭户数居民点 1 　 2 　3 　4 　5 6 位置 xi 0 1 2 3 4 5 yi 4 5 4 4 1 2 家庭户数（万户） 10 11 8 15 8 22 (1)若已知A、B两个水厂的位置分别为A=A(1，4)和B=B(4，2)，试确定供水方案使总成本最低； (2)若A、B两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置及供水方案使总成本最低； (3)如果该某城市要在平直河岸L(设L位于横坐标轴)上建一抽水站P，供应同岸的A、B两个水厂。考虑到输水管道沿线地质情况等原因，假设在修建OA、OB、OP三段管道（如图1）时，每公里的耗资由相应的管道日供水量决定，参见表2。水厂按超额加价收取水费，即每户日基本用水量为0.6 吨，每吨水费1.2元，超额用水量的水费按基本用水量的水价加价20％。试确定该城市将供水收益全部用于偿还修建OA、OB、OP三段管道投资费用的最优方案。 表2　管道修建费用日供水量（万吨） 30 　40 50 80 每公里耗资（万元） 50 65 75 90 告诉下用哪种模型啊

 

 

 

建立粮食产量模型，除了面积、化肥用量外，还要考虑技术进步（可用时间函数代替），以及气候因素，如温度、降水。

数学菜鸟飘过