[求助]两道微积分问题

多谢！不过如可能请再继续讨论一下！

书我已经看了，非常感谢你给的那么具体。但是书上有一个地方写的不是很明白。以书中第二个例子为例：书中给出的积分分为两步，先从（0，0）到（x,0）积分。这里我的问题是：是不是x²ydy的积分直接就等于0？因为y在这里没有改变？还是应该把它按照y的积分先积出来，然后再把积分限带进去计算？

   你可以发现这两种不同的计算方法对于这里的这道题是不一致的。

   而第二步也应该用这样的方法计算。不然的话也不能得出结果。

  你说的待定系数我明白了，非常感谢，只是这第一种方法书上写的太简略了，我没有看的十分明确。

至于第二题，是CCER04年的考博题，我个人觉得题目本身应该不会错吧，只是我查了很多的数学书都没有看到在变上限积分有这样的例题。我怀疑在更高深的数学书里应该有这样的类似的题目，因为他们经常出这种例题。但是目前还没有查到。

   用目前所知的常规的方法，很明显，方程的左边可以直接求出积分来。再看右边，如果不考虑所乘的项，只看积分部分，这是一个Possion积分的表达式，不同的是，它是一个变上限的积分，我个人认为应该是用书上所给出的那几种方法求解，然后再乘以前一项，但是这样算出来的结果明显不对。所以我想是不是我算错了，还是方法本身就有问题？如果你有别的思路，可以一起讨论一下。

      再一次表示感谢！

第一题一定是题目抄错了，等式左边应为\int_0^x exp(zx)exp(-z^2) dz.
证明的过程如下：
\int_0^x exp(zx)exp(-z^2) dz=\int_0^x exp(-(z-x/2)^2)dz exp((x^2)/4)=\int_{-x/2}^{-x/2} exp(-z^2)dz exp((x^2)/4)
由于exp(-z^2)为偶函数，因此
\int_{-x/2}^{-x/2} exp(-z^2)dz=2 \int_0^{x/2} exp(-z^2)dz=\int_0^x exp((-z^2)/4)dz.
从而，左边=exp((x^2)/4) \int_0^x exp((-z^2)/4)dz.结论证毕。
（符号有点乱，\int_0^x是指从0到x的积分）

回复Tunnel，你的做法是对的，我验证了一遍。非常感谢！这里果然卧虎藏龙啊！

原题的出处是，中国石化出版社，金圣才主编的《博士生入学考试试题》，不好意思，书已经还了，书名记的不是太牢，P18页第五题证明。我觉得应该改成你的形式。

   如果有谁遇到这样的题，可作参考！

    非常感谢！

第一道题显然是错误的，答案应该是：[1-e^(-x^2)]/x。已经用mathematica验证。

其实碰到有疑惑的数学问题，用mathematica，maple这些有符号计算功能的数学软件做一个验证是最好的。

顺便提一句，这些积分上下限为x的积分的确很讨厌，但无需更高深的数学书，其实只要读懂一般高数书中都

会有的“含参积分”、“多元积分”就可以了，我喜欢把x看作另外一个元，把这种积分看作二元积分，只不

过积分上下限不是确定的数，而是由x表达式确定的曲线，这样就很容易理解了。

[此贴子已经被作者于2008-7-24 10:15:48编辑过]

哪有博士生入学考这种弱智题的？

我好像还没有听说过有博士生入学考试《微积分》的，哈哈，我可能太孤陋寡闻了

第一个积分不是恒等式，但存在关于X的解。

我来说说的第二题：

右边加号两边的式子除去dx和dy的部分，第一项对y求导，第二项对x求导后会发现两式相等，

则证明这个二元函数与积分路径无关，你可以选择（0，0）点为起点，（x，y）为终点的任意一条曲线对所求做第二类曲线积分，

当然选择先从（0，0）到（x，0）作积分（此时y为常数第二项为零），再以（x，0）到（x，y）作积分（此时x为常数第一项为零），这样的折线路径最简单

愿意与“长风飘絮”继续讨论：

在这个积分问题上我做一遍请你看看，到底是哪里出了问题？

原题：df(x,y) = (x2 + 2xy - y2)dx + (x2 - 2xy - y2)dy
现在按照你说的路径积分：

从（0，0）到（x,0）的积分等于x^3/3 + x^2y - y^2x

从（x,0）到（x,y）的积分等于x^2y - xy^2 - y^3/3 + C（常数）

两式相加等于：x^3/3 + 2x^2y - 2xy^2 - y^3/3 + C

这样的结果不等于待定系数法得出的结果，并且通过验证可以发现这个结果不对？

请问这中间的问题出在什么地方？

我个人以为同济的课本上给出的例子可以回避了这个问题，它所给出的例子并不需要做这样的变换。

第二个问题应该是偏微分方程吧。其实很简单的。  df(x,y) = (x2 + 2xy - y2)dx + (x2 - 2xy - y2)dy

先将x2 + 2xy - y2对x积分得到1/3(x3)+x2y-xy2+f(y)

然后对1/3(x3)+x2y-xy2+f(y)关于y求导，得x2-2xy+f'(y)=x2 - 2xy - y2

故f(y)=1/3(y3)+c

最后可得f(x,y) = 1/3(x3)+x2y-xy2+1/3(y3)+c

关于第二题的话，主要是利用对全微分积分的话与路径无关，所以任选一条路径积分就可以了，个人推荐

(0,0)-->(x,0)-->(x,y)

就对全微分整个积分就可以了，当然分步对x和y积分也是不错的方法。