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概率论与数理统计40个疑惑与问题
40 Puzzles and Problems in Probability and Mathematical Statistics
Wolfgang Schwarz
（英文版)


Contents
0 Notation and Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 To Begin or Not to Begin? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 A Tournament Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Mean Waiting Time for 1 − 1 vs. 1 − 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 How to Divide up Gains in Interrupted Games . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 How Often Do Head and Tail Occur Equally Often? . . . . . . . . . 4
1.6 Sample Size vs. Signal Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Birthday Holidays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Random Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.9 Maximize Your Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.10 Maximize Your Gain When Losses Are Possible . . . . . . . . . . . . . 6
1.11 The Optimal Level of Supply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.12 Mixing RVs vs. Mixing Their Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.13 Throwing the Same vs. Different Dice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.14 Random Ranks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.15 Ups and Downs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.16 Is 2X the Same as X1 + X2?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.17 How Many Donors Needed? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.18 Large Gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.19 Small Gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.20 Random Powers of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.21 How Many Bugs Are Left? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.22 ML Estimation with the Geometric Distribution . . . . . . . . . . . . . 11
1.23 How Many Twins Are Homozygotic? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.24 The Lady Tasting Tea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.25 How to Aggregate Significance Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.26 Approximately How Tall Is the Tallest? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.27 The Range in Samples of Exponential RVs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.28 The Median in Samples of Exponential RVs . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.29 Breaking the Record . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.30 Paradoxical Contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.31 Attracting Mediocrity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.32 Discrete Variables with Continuous Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.33 The High-Resolution and the Black-White View . . . . . . . . . . . . . 17
1.34 The Bivariate Lognormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.35 The arcsin(p) Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.36 Binomial Trials Depending on a Latent Variable . . . . . . . . . . . . . 19
1.37 The Delta Technique with One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.38 The Delta Technique with Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.39 How Many Trials Produced a Given Maximum? . . . . . . . . . . . . . 20
1.40 Waiting for Success . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Hints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 To Begin or Not to Begin? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 A Tournament Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Mean Waiting Time for 1 − 1 vs. 1 − 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 How to Divide up Gains in Interrupted Games . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 How Often Do Head and Tail Occur Equally Often? . . . . . . . . . 24
2.6 Sample Size vs. Signal Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Birthday Holidays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 Random Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Maximize Your Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.10 Maximize Your Gain When Losses Are Possible . . . . . . . . . . . . . 25
2.11 The Optimal Level of Supply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.12 Mixing RVs vs. Mixing Their Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.13 Throwing the Same vs. Different Dice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.14 Random Ranks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.15 Ups and Downs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.16 Is 2X the Same as X1 + X2?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.17 How Many Donors Needed? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.18 Large Gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.19 Small Gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.20 Random Powers of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.21 How Many Bugs Are Left? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.22 ML Estimation with the Geometric Distribution . . . . . . . . . . . . . 28
2.23 How Many Twins Are Homozygotic? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.24 The Lady Tasting Tea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.25 How to Aggregate Significance Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.26 Approximately How Tall Is the Tallest? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.27 The Range in Samples of Exponential RVs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.28 The Median in Samples of Exponential RVs . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.29 Breaking the Record . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.30 Paradoxical Contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.31 Attracting Mediocrity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.32 Discrete Variables with Continuous Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.33 The High-Resolution and the Black-White View . . . . . . . . . . . . . 31
2.34 The Bivariate Lognormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.35 The arcsin(p) Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.36 Binomial Trials Depending on a Latent Variable . . . . . . . . . . . . . 32
2.37 The Delta Technique with One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.38 The Delta Technique with Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.39 How Many Trials Produced a Given Maximum? . . . . . . . . . . . . . 34
2.40 Waiting for Success . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1 To Begin or Not to Begin? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 A Tournament Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Mean Waiting Time for 1 − 1 vs. 1 − 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 How to Divide up Gains in Interrupted Games . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 How Often Do Head and Tail Occur Equally Often? . . . . . . . . . 42
3.6 Sample Size vs. Signal Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Birthday Holidays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Random Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.9 Maximize Your Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.10 Maximize Your Gain When Losses Are Possible . . . . . . . . . . . . . 52
3.11 The Optimal Level of Supply . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.12 Mixing RVs vs. Mixing Their Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.13 Throwing the Same vs. Different Dice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.14 Random Ranks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.15 Ups and Downs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.16 Is 2X the Same as X1 + X2?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.17 How Many Donors Needed? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.18 Large Gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.19 Small Gaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.20 Random Powers of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.21 How Many Bugs Are Left? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.22 ML Estimation with the Geometric Distribution . . . . . . . . . . . . . 72
3.23 How Many Twins Are Homozygotic? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.24 The Lady Tasting Tea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.25 How to Aggregate Significance Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.26 Approximately How Tall Is the Tallest? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.27 The Range in Samples of Exponential RVs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.28 The Median in Samples of Exponential RVs . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.29 Breaking the Record . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.30 Paradoxical Contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.31 Attracting Mediocrity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.32 Discrete Variables with Continuous Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.33 The High-Resolution and the Black-White View . . . . . . . . . . . . . 98
3.34 The Bivariate Lognormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.35 The arcsin(p) Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.36 Binomial Trials Depending on a Latent Variable . . . . . . . . . . . . . 108
3.37 The Delta Technique with One Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.38 The Delta Technique with Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.39 How Many Trials Produced a Given Maximum? . . . . . . . . . . . . . 115
3.40 Waiting for Success . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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