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绝对优势与比较优势的数学分析与其漏洞（2）
3.比较优势的数学化
设1国在1产品上需要F11的劳动来生产1单位的产品，1国在2产品上需要F12的劳动来生产1单位的产品；2国在1产品上需要F21的劳动来生产1单位的产品，2国在2产品上需要F22的劳动来生产1单位的产品。设1国在1产品上使用的劳动为x1，1产品的产出为x1/ F11，在产品2上的劳动为F11+ F12，2产品的产出量为(F11+ F12-x1)/F12。设2国在1产品上使用的劳动为x2，1产品的产出为x2/ F21，在产品2上的劳动为F21+ F22，2产品的产出量为(F21+ F22-x2)/F22。
上式是关于x1和x2的2维函数，当x1和x2的系数异号时，则正数的系数取最大值，负数的系数取0，则可得到函数F(x)的最大值，这是李嘉图比较优势例子的情况，此时两个各自专业化，总产出最大，并且满足帕累托最优。当x1和x2的系数同号时，此时的情况是李嘉图比较优势的反例，两国采取专业化时，不满足帕累托最优的限制。
下图给出了不同情况下的两个国家在满足帕累托限制下，为了总产出最大化，两国应该采取的策略。
当两个国家的系数为不同号时，正号的国家采取在1产品上专业化，负号采取在2产品上采取专业化，两个可以达到产出最大化。
当两国的系数都是正号时，系数小的国家采取专业化，系数大的国家采取在两个产品上非专业化。当两个的系数都是负号时，系数大的国家采取专业化，系数小的国家采取在两个产品上非专业化，可以在满足帕累托最优的条件下，获得产出最大化。
当有三个国家生产两种产品时，函数如下。
三国生产两种产品的例子如下
当有n国生产2种产品时，可以写出类似的带约束的函数，
此函数可以为几十，几百，几千上万维，没有限制，并且此函数有最优解，可以通过优化算法进行求解。
当n等于11时，即11国家生产两种产品时的例子如下。
当多个国家生产多种商品时，也可以类似的给出有约束的函数，然后进行优化求解。比如三个国家生产三种产品。带约束的函数如下
三国生产三种产品的例子如下
在广义动量定理Fαt=nmV中，不同的力量F会产生不同的成果nmV，李嘉图的例子是一个静态的例子，没有时间因素。比如英国需要120的劳动量来生产1单位的葡萄酒，葡萄牙需要80单位的劳动来生产1单位的葡萄酒。谁更有效率或者成本更低呢？在没考虑时间的因素下，葡萄牙更有效率，劳动成本更低。而考虑时间因素，则结果就是不一定的了。比如英国需要120人的劳动和10天时间就能生产1单位的葡萄酒，而葡萄牙需要80人的劳动和20天才能生产1单位的葡萄酒。英国生产1单位的葡萄酒需要1200人天，葡萄牙需要1600人天，英国的付出更少。
在李嘉图的比较优势的例子中，李嘉图使用了力量F作为分析因素，在广义动量定理Fαt=nmV中，力量F，方向α，时间t和作用点都能对成果nmV产生影响。经济学家杨小凯在《发展经济学-超边际与边际分析》所使用的比较优势的例子是基于不同的速度V的。我们可以通过不同的时间t的分配来获得不同的成果。
本文将分析不同的速度V的比较优势下的例子，顺便分析杨小凯的超边际分析和专业化分工理论的漏洞。在书中，杨小凯假定1国在1商品上的劳动生产率V11=2，在2商品上的劳动生产率为V12=1；2国在在x商品上的劳动生产率V21=3，在2商品上的劳动生产率为V22=4。在《发展经济学-超边际与边际分析》书中的图形如下图所示，FB线段为2国的劳动生产率，CD为1国的劳动生产率。因为两个所工作的时间t是相同的，可以设置为1，所以劳动生产率乘以时间1可以得到产量，下图也是产量的示意图。杨小凯将线段FB和CD平移，得到四边形EFGH，杨小凯证明了F点为专业化分工的角点解，并且F点的社会总产出最大为6，其中2国对应点F，专业化生产2商品，产出4个2商品；1国对应点D，专业化生产1商品，产出的2单位的1商品。
杨小凯的推理为：因为V21=3> V11=2；V22=4> V12=1，所以2国在x和商品上都具有绝对优势，并且V11/V12>V21/V22，所以1国在1产品上具备比较优势，2国在2产品上具备比较优势，所以按照李嘉图的比较优势原理，1国应该专业化生产1产品，2国应该专业化生产2产品，然后两国进行交换，就能达到社会福利最大化。这与杨小凯所证明的角点解是相同的。
如果V22=5，2国在1产品和2产品上都具有绝对优势，而V11/V12>V21/V22，1国具有比较优势，所以按照李嘉图的比较优势理论，1国专业化生产1产品，2国专业化生产2产品，两国进行交易可以达到两国福利最大化。杨小凯在书中说：“产出组合EHG同有比较优势的分工有关。我们在后边将要证明，此种生产情况不可能在均衡中存在。”如下图所示，产量最大点有两个，一个是H，一个是G，两个点的产量相同。杨小凯的超边际分析证明不了G点在均衡中不存在。
在MATLAB中输入如下命令，可以得到函数的定义域和值域的图形，如下图所示
[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);
z=2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y);
surf(x,y,z),shading flat
在杨小凯的论述中，F点为比较优势，H点为比较劣势，H点是不能获得的。但是在图形中，F点和H点的最大值均为6，是否能取到此点取决于自给自足时的初始状态，与比较优势无关，这一点会在下边进行论述。
数学分析
设两个的工作时间均为T，为了计算方便，T=1，T的取值范围为[0,1]，所有国家均可选择以什么样的时间比例分配在产品1和2上边，以便产生不同的成果。设1国用在生产1产品的时间为x，则1的产量为V11x；则生产2产品的时间为1-x，2的产量为V12 (1-x)。设2国用在生产1产品的时间为y，则2的产量为V21y；则生产2产品的时间为1-y，2的产量为V22 (1-y)。设总产量为z，求z的最大值，则z等于
上式为杨小凯所举例子的数学函数。其中前两个约束为定义域约束，表示自变量的取值范围。后两个约束是为了满足帕累托最优而设置的约束，即1国的与2国的1产品的产量不少于之前的最小值，1国的与2国的2产品的产量不少于之前最小值。
[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);在自给自足的条件下，1国1产品的产量为0.4，2产品的产量为0.8。2国1产品的产量为0.9，2产品的产量为2.8。所以在约束函数中2国生产的1产品不小于1.3，生产的2产品不小于2.8。对上述函数进行优化求解，在满足约束的条件下，x取大值1，即1国将所有时间用在生产1产品上，专业化生产1产品；y取最小值0，即2国将所有时间用在生产2产品上，专业化生产2产品。总产量为6，比自给自足时的4.9多，两个以1:1.55比例进行交换，交换后两国在两种产品上的状况都比自给自足时好。利用MATLAB输入如下命令，可以得到如下图形。
z=(2*x+1*(1-x)+3*y+4*(1-y)).*((2*x+3*y>=0.4+0.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=0.8+2.8));
surf(x,y,z),shadingflat
双方分工后的状态取决于分工前双方的状态，如果2国分工前1产品的总产量大于2.5，那么采取李嘉图专业分工的方式，专业化生产比较优势的产品，那么1国专业生产1产品，2国专业生产2产品，1产品的总产量最大为2单位，不满足帕累托约束。如下表所示，在自给自足状态下，1国1产品的产量为1，2产品产量为0.5。2国1产品产量为1.5，2产品产量为2。
按照李嘉图的比较优势原理，1国应该专业生产有比较优势的产品1，2国专业生产产品2，然后进行交易。但专业化1产品的总产量为2，小于自给自足时的总产量2.5，进行交易，必定有一国在此产品上获得的数量小于自给自足时的状态。如果2国以1:0.5进行交易，那么2国只能获得1单位的1产品，小于自给自足时的1.5单位，不满足帕累托约束。
当对函数进行优化时，优化约束采用两个的1产品总产量大于等于2.5，2产品总产量大于等于2.5。优化后得到1国专业化生产1产品；2国用0.1667单位时间生产1产品，用0.8333单位时间生产2产品。两国以1:0.9进行交换，1国获得1单位1产品，与自给自足时相同，获得0.9单位2产品，比自给自足时多0.4单位。2国获得1.5单位1产品，与自给自足时相同，获得2.433单位2产品，比自给自足时多0.433单位。优化后社会福利比自给自足时增加。
改变约束，要求两国1产品的总产量不低于2.7进行优化，得到优化2的结果。1国专业化生产1产品；2国用0.233单位时间生产1产品，用0.7667单位时间生产2产品。两国以0.9:0.8进行交换，1国获得1.1单位的1产品，比自给自足时多0.1单位；获得0.8单位2产品，比自给自足多0.3单位。2国获得1.6单位1产品，比自给自足时多0.1单位，获得3.2068单位2产品，比自给自足时多2.068单位。两国在2种产品上的获得量均增加，优化2的社会福利比自给自足时增加。
改变2国自给自足时的生产速度，然后进行分析。在杨小凯所举的例子中，两国总产量函数为z=x-y+5，x和y的符号不同，在满足约束的条件下，x取最大值，y取最小值，函数z可以获得最大值，x=1，y=0为满足某个初始状态时的解，得到1国专业化生产1产品，2国专业化生产2产品。改变2国生产1产品的速度从3变成5，得到总产量函数z=x+y+5，使x和y为同号。
初始状态如下表所示，1国生产1产品的速度为2，产量为0.4；生产2产品的速度为1，产量为0.8。2国生产1产品的速度为5，产量为1.5，生产2产品的速度为4，产量为2.8。
可以在MATLAB中输入如下命令，获得专业化时的图形，其中1产品总产量不小于1.9，2产品不小于4。李嘉图比较优势的专业化生产为特定约束下的一个解。当采用李嘉图比较优势的原则时，1国专业化生产1产品，获得2单位产量；2国专业化生产2产品，获得4单位的产量，总产量为6单位。两国采用1.55:1进行交易，1国获得0.45单位1产品，比自给自足时多了0.05单位；获得1.55单位2产品，比自给自足时多了0.05单位。2国获得1单位1产品，比自给自足时多了0.2单位；获得3单位2产品，比自给自足时多了0.2单位。总产量从5.5上升到6，比自给自足时多了0.5单位。专业化后两国的福利均增加。
[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);
z=(2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y)).*((2*x+5*y>=1.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=4));
surf(x,y,z),shadingflat
采用函数优化时，要求1产品的总产量不小于自给自足时的1.9,2产品总产量不小于自给自足时的3.6，得到的结果如上表优化一栏所示。1国专业化生产1产品，获得2单位产量；2国用0.1单位时间生产1产品，获得0.5单位1产品；使用0.9单位时间生产2产品，获得3.6单位2产品。总产量为6.1单位。两国采用1.3:0.8进行交易，1国获得0.7单位1产品，比自给自足时多了0.3单位；获得0.8单位2产品，与自给自足时相同。2国获得1.8单位1产品，比自给自足时多了0.3单位；获得2.8单位2产品，与自给自足时相同。总产量从5.5上升到6.1，比自给自足时多了0.6单位。优化后两国的福利均增加。
在MATLAB中输入如下命令，可以得到1产品不小于1.9，2产品不小于3.6时的图形，如下图所示。
[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);
z=(2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y)).*((2*x+5*y>=1.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=3.6));
surf(x,y,z),shading flat
多个国家决定生产什么产品，不仅取决于亚当斯密的绝对优势，李嘉图的比较优势，而是取决于初始状态约束和需要达到的目标。李嘉图的比较优势所提出的专业化策略是特定初始状态和约束下的一个特殊解。
比较优势的一个假设是劳动价值论，李嘉图所举的例子是基于力量F（劳动量）的，杨小凯所举的例子是基于时间t的。例如英国劳动F为100，对应1单位的衣料。
从广义动量定理Fαt=MV角度来说，比较优势可以基于力量F，那么也可以基于方向α，基于时间t和基于速度V等，基于不同的因素，比较优势的原理不变，扩展了比较优势的应用。
以上的所有讨论都是基于产出最大化，那么如果产出超出了需求呢？
在进行帕累托约束时，是否需要根据实际情况限制最大产出量呢？限制后会出现什么后果呢？
以李嘉图的绝对优势的例子进行分析，初始状态为未分工，衣料总产量为2单位，葡萄酒为2单位，总产量4单位。
进行专业分工之后，衣料的总产量为2.2单位，葡萄酒为2.375单位，总产量为4.575单位。
绝对优势例子的数学函数为，求z在满足约束条件下的最大值。
后两个不等式约束为帕累托约束，要求优化后两种产品分别产量均不小于2单位。
如果在进行优化之后，两国的衣料需求总量为2.1单位，小于专业化生产的2.2单位，多生产的衣服将没有人需要。那么就需要添加另外的约束，即
如果葡萄酒的需求没有达到上限，那么英国剩余的劳动量会生产葡萄酒，使葡萄酒的总产量提高，但衣料和葡萄酒的总产量比专业化时降低。如果除了葡萄酒和衣料两种产品外，还有其他产品，那么英国剩余的劳动量也可能从事其他职业，而生产葡萄酒只是他们的一个选择。
如果葡萄酒的需求量在专业化分工后有所增长，从2单位上升到2.3单位，但是有上限，需求上限为2.3，那么此时会出现什么情况呢？
此时出现的情况为劳动生产能力大于需求，即凯恩斯所说的有效需求不足。此时会出现多种情况，如以前的惯例，给出几种典型状态。
情况1）英国只有210人专业化生产衣料，多余的10人从事其他行业的工作；葡萄牙只有184人专业化生产葡萄酒，剩余的6人从事其他职业。
情况2）英国只有210人专业化生产衣料，葡萄牙只有184人专业化生产葡萄酒，多余的人均失业。（失业会引起衣料和葡萄酒需求量下降）
情况3）英国有多于210人生产衣料，葡萄牙有多于184人生产葡萄酒，这其中有本分人为半失业状态或者非专业化状态。
情况4）英国有220人生产衣料，葡萄牙有190人生产葡萄酒，大部分人均处于半专业化状态，即大部分人的生产效率较低。这是一种通过降低生产效率来减少产出，从而使产出和需求相等，是一种使所有人都就业的情况。
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