关于一致可积鞅与停时

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对于一个一致可积鞅 M_t，初始状态 M_0=0. 如果取停时T为 M_t首次到达-1的时刻，那么E(M_T) 是等于-1还是等于0呢？

结论应该是等于0， 可是如何直观理解呢？ 万谢!!

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关键词：停时

我怎么觉得是-1呢？

    应该是零,(对于连续时间的鞅,应该还有连续性的条件)

    楼上的可能想到的是赌徒破产的例子,可以假设赌徒有一元的赌资,每次下一元的注,赢了得一元,输了,丢一元.

如果输光了,就离开,如果没输光一直停留在赌局里.

   从直觉上,虽然赌徒以1的概率出局(实际上我们根据鞅不等式计算出).这就是说,M_T以1的概率等于-1,但是M_T

同样可以以0的概率等于无穷大.这时相加可能等于零.

   事实上,可以证明,在一个公平的赌局中,任何人都可以得到期望为零的收益,只是由于赌本太小,输的概率就很大了.

[此贴子已经被作者于2009-3-17 12:24:40编辑过]

E(M_T)=E(M_T,T<inf)=int[E(M_T,T=t)*p(t)];

p(t)=PDF of stopping time=dP(T<=t)/dt;

P(T<=t)=CDF of stopping time

P(T<=t)=P[min(M_t)<=-1]=P[max(M_t)>=1];

P[max(M_t)>1]用reflection principle算

多谢班竹和iasccer 有三个地方不太懂
1 这里说的cdf是啥阿 与Probability distribution function 概率分布函数啥关系呢？
2 这样算是不是必须要知道具体的过程是什么 但实际上只要是一般的一致可积鞅上式都成立
3 3楼的直观解释 似乎没一致可积什么事阿？ 而且我记得零测集上任意函数的积分都是定义为零的阿？

here is my two cents,

1. (M_n) is Uniforme Integrable, so there exist a random variable M such that E(M|F_n)=M_n,  especially E(M)=E(M|F_0)=E(M_0)=0.

2.  We have  T = lim(T^n) a.s  so we have
M_T =  lim (M_T^n) a.s. .

3.On {T<+infty},  lim (M_T^n) = M_T a.s.  ,
and  E(|M_T^n|) < infty beacause (M_n) is U.I.,
So lim (M_T^n) = M_T in L1 by dominated convergence.
We got E(M_T |T<+infty)=E[lim(M_T^n)|T<+infty] = lim E[(M_T^n)|T<+infty] =E(M_0) = 0.

4.  On  {T=+infty},  M_T^n=M_n a.s. and lim (M_n) = M in L1. since (M_n) is U.I.
We also have E(M_T |T=+infty)=E[lim(M_n)|T=infty]=E[M|T=infty]=E(M_0) = 0.

5. Finally, E(M_T) = P(T=+infty)E(M_T |T=+infty)+P(T<+infty)E(M_T |T<+infty) = E(M_0) = 0.

这里面主要的intutition有两歌。
第一是：
 UI的鞅M 在 L1 里面是闭的，也就是说，
E(lim M_n) =E(M) = E(M_0),  这样在 {T=+infty} 我们就直接有 E(M_T |T=+infty)=E[lim(M_n)|T=infty]=E[M|T=infty]=E(M_0) = 0.
第二是：
 UI的鞅M， M_T是可积的，
因为E(M_T) = Sum{P(T=n)E(M_n)) <Sum{P(T=n))E(M)。

由于这两点，我们可以用 dominated cv 把 as 收敛 转化为 L1 收敛， 也就是期望相等。


不知道我说得清楚不清楚，其实你只要记住结论：
1。 如果停时T是有限的，那么 M_T 是鞅。
2。 如果M_n 是一致可积的，那么对于任何停时T,  M_T 是鞅。

[此贴子已经被作者于2009-3-18 6:45:06编辑过]

6楼式子5正解,我给的少了 P(T=+infty)E(M_T |T=+infty)

CDF:cumulative probility function即分布函数

Dear Eric,

当然是 0。核心是鞅的停时定理（the stopping theorem of martingales，即对于鞅 M 以及满足一定条件的停时 T，描述 EM_T=EM_0 何时成立的定理）。由于你说的是一致可积鞅，一致可积蕴含停时定理的条件（请自行验证一下），故 EM_T=EM_0 成立，从而 EM_T=0.

这个停时定理有一些不同版本，可参阅大量文献。如

1）Ross，随机过程；

2）龚光鲁，钱敏平，应用随机过程；

这两本书都是你熟悉的，另外还有

3）程士宏，高等概率论（北大出版社，天元研究生丛书）；

4）Olav Kallenberg，Fonudations of Modern Probability (Springer)

等等。后两本很数学，但可以看得更清楚。

关于对 EM_T 等于 0 而不是 -1 的直观理解，龚、钱夫妻的书上有一个解释（P_317，定理 12.32 上面的一段话，这个定理就是停时定理的一个版本），刚好回答你的问题，我就不多说了。记住，鞅是“公平的”赌博，所以在停时定理成立的意义下，EM_T =-1 是不能允许的；否则也可以等于100，如果将你的问题中 T 的定义中的 -1 换作 100 的话。那样的话，直观上，谁还敢跟你赌下去？

此外，cdf 就是 df，（累积）分布函数，不同叫法而已。

[此贴子已经被作者于2009-3-18 16:47:18编辑过]

谢谢jmb321 龚老师的例子很好 让人很快就明白了为什么要限制停时是有界的

[此贴子已经被作者于2009-3-18 21:40:02编辑过]

Galilee, 多谢你的post，我基本明白了你的思路~

只是第三步中 E[lim(M_T^n)|T<+infty] = lim E[(M_T^n)|T<+infty] 你用了dominated convergence，我不太清楚这里你是用哪个可积的 r.v. 对这个family dominate 的呢？

[此贴子已经被作者于2009-3-18 21:39:36编辑过]