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数量金融中模型实现的方法与实例，mplementing Models In Quantitative Finance，Methods and Cases，Gianluca Fusai ，Andrea Roncoroni，Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008，616页，全英文
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Part I Methods
1 Static Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Motivation and Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Issue 1:Monte Carlo Estimation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Issue 2: Efficiency and Sample Size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Issue 3: How to Simulate Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Issue 4: How to Evaluate Financial Derivatives . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 The Monte Carlo Simulation Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Simulation of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Uniform Numbers Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Transformation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Acceptance–Rejection Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.4 Hazard Rate Function Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.5 Special Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Variance Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.1 Antithetic Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.2 Control Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3 Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Dynamic Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1 Main Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Continuous Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Method I: Exact Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Method II: Exact Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.3 Method III: Approximate Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.4 Example: Option Valuation under Alternative Simulation
Schemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Jump Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Compound Jump Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Modelling via Jump Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3 Simulation with Constant Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.4 Simulation with Deterministic Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Mixed-Jump Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1 Statement of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Method I: Transition Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.3 Method II: Exact Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.4 Method III.A: Approximate Dynamics with Deterministic
Intensity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.5 Method III.B: Approximate Dynamics with Random Intensity 60
2.5 Gaussian Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3 Dynamic Programming for Stochastic Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1 Controlled Dynamical Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 The Optimal Control Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 The Bellman Principle of Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4 Dynamic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5 Stochastic Dynamic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6.1 American Option Pricing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6.2 Optimal Investment Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.7 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Finite Difference Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.1 Security Pricing and Partial Differential Equations . . . . . . . . 83
4.1.2 Classification of PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 From Black–Scholes to the Heat Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.1 Changing the Time Origin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.2 Undiscounted Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.3 From Prices to Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.4 Heat Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.5 Extending Transformations to Other Processes . . . . . . . . . . . . 90
4.3 Discretization Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.1 Finite-Difference Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.2 Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.3 Explicit Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3.4 Implicit Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.5 Crank–Nicolson Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.6 Computing the Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4 Consistency, Convergence and Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5 General Linear Parabolic PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.1 Explicit Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.2 Implicit Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.5.3 Crank–Nicolson Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.6 A VBA Code for Solving General Linear Parabolic PDEs . . . . . . . . . 119
4.7 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 Numerical Solution of Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.1 Direct Methods: The LU Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2 Iterative Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.1 Jacobi Iteration: Simultaneous Displacements . . . . . . . . . . . . 128
5.2.2 Gauss–Seidel Iteration (Successive Displacements) . . . . . . . . 130
5.2.3 SOR (Successive Over-Relaxation Method) . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.4 Conjugate Gradient Method (CGM). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.2.5 Convergence of Iterative Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3 Code for the Solution of Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.1 VBA Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3.2 MATLAB Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4 Illustrative Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4.1 Pricing a Plain Vanilla Call in the Black–Scholes Model
(VBA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4.2 Pricing a Plain Vanilla Call in the Square-Root Model (VBA) 145
5.4.3 Pricing American Options with the CN Scheme (VBA) . . . . 147
5.4.4 Pricing a Double Barrier Call in the BS Model (MATLAB
and VBA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4.5 Pricing an Option on a Coupon Bond in the Cox–Ingersoll–
Ross Model (MATLAB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6 Quadrature Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.1 Quadrature Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.2 Newton–Cotes Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.2.1 Composite Newton–Cotes Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3 Gaussian Quadrature Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.4 Matlab Code. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
感谢四楼纠正译名！
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