质量品投入研究——拉格朗日失效与技术等级

本题试解如下：

解：从消费者采购商品从中获得的效用最大化来出发，我们有：

M是对于其他商品的购买，P·Q是对于A商品的购买，根据给定的效用函数和约束条件，我们有：

U（M，L，S）＝M·Q^α·S^β

约束条件M + P·Q≤m；

于是，根据效用最大化的条件有：

MU_M/P_M= MU_Q/P_Q= MU_S/P_S；

根据效用函数，我们有

MU_M/P_M = Q^α·S^β（因为M的价格就是货币的价格，即P_M =1）

MU_Q/P_Q = α·M·Q^α-1·S^β/（ηS^γ）＝（α/η）·M·Q^α-1·S^β-γ

MU_S/P_S =β·M·Q^α·S^β-1/ P_S

在本题目中，商品A的品质S关系到单位商品的价格，因此有P_S·S＝P_Q

于是P_S＝ηS^γ-1

那么MU_S/P_S =β·M·Q^α·S^β-1/ηS^γ-1＝（β/η）·M·Q^α·S^β-γ

根据上述的最大化条件有；

（α/η）·M·Q^α-1·S^β-γ＝（β/η）·M·Q^α·S^β-γ＝Q^α·S^β

从而可以得出：（α/η）·M·Q^α-1·S^β-γ＝（β/η）·M·Q^α·S^β-γ＝Q^α·S^β

Q＝α/β　　（1）

α·M ＝Q·ηS^γ即PQ＝αM　　（2），

将（2）式代入约束条件有M + P·Q＝M +αM≤m

从而M可以取最大值M＝m/（1+α）　　（3）

那么PQ＝αM＝αm/（1+α）　　（4）

将（1）式代入到（4）式，可以得到

P＝βm/（1+α）＝ηS^γ

即S＝｛βm/［η（1+α）］｝^1/γ （5）

将（1）式、（3）式和（5）式代入到效用函数中，得到：

maxU（M，Q，S）＝m/（1+α）·（α/β）^α·｛βm/［η（1+α）］｝^β/γ

化简后可得，

maxU（M，Q，S）＝α^α·β^β-α·［m/（1+α）］^(β+γ)/γ·η^γ/β