质量品投入研究——拉格朗日失效与技术等级

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<P><img src="http://pic.pinggu.com/attachments/uploadfile_20082009/2005-10/2005107103819385.jpg" border="0" onload="if(this.width>document.body.clientWidth*0.5) {this.resized=true;this.width=document.body.clientWidth*0.5;this.style.cursor='pointer';} else {this.onclick=null}" alt="" /></P>
<P>关于具有质量特征的商品A的最大化效用问题
S代表单位A的质量，Q代表A的数量。Q的边际效用递减，S的边际效用递增。 </P>



<P>M是计价品，代表其他一切商品的总和，设其边际效用不变，以货币投入量代表其效用量。</P>
<P>m是预算约束</P>
<P>P是A的价格</P>
<P>拉格朗日方法好像失效了，应该怎么办？

</P>

[此贴子已经被作者于2005-10-10 13:06:26编辑过]

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关键词：拉格朗日 拉格朗 边际效用递增 拉格朗日方法 边际效用递减 技术 预算

显然非正值效用必不是最大值，而该偏好满足单调性——这样如果有最优点则应该在预算线上取到。以m、Q、S表示M，将原问题转化为无约束规划（其实还是有约束，M, Q, S>0）。若a*gammer<>b，不存在驻点（一阶条件不能满足）。各自变量的边界点都不许取到，而一价条件又不满足，没有一般性的最优值（还需要进一步的具体条件）。

我认为这个题目出错了。

不是拉氏乘子方法不灵的问题。

一开始题目就犯了经济学的大忌，价格在这里不可能是外生变量！质量是内生变量的话，那么由于p＝ηЅ^γ，价格p成为内生变量了。但是消费理论中价格绝对是外生的。这说明本题没有出好。

权当题目是正确的，把用价格p替代质量S进入效用函数，得到在约束条件M＋pQ＝m下的极大值问题，变量为M、p和Q。根据拉氏乘子，p、Q无法满足拉氏条件，所以没有极大值。

例如，设α＝1/2，η＝1，β＝γ＝2，m＝1，满足题目条件。那么U（M，Q，p）＝MQ^1/2p。

设M＝0.5，则pQ＝0.5，U（M，Q，p）＝0.5×(0.5) ^1/2×p^1/2，pQ＝0.5时，只要Q足够小，则p可以足够大，可见U可以足够大。最大值问题无解！

出这个题目的人可能根据直观想做什么模型，呵呵，题目倒是很符合日常经验的。

[此贴子已经被作者于2005-10-7 19:09:20编辑过]

大家注意：

　　这个题中的条件是规模报酬递增的生产函数，在这种情况下，不能用利润最大化求解，而是要用成本法，或者用长期均衡时的条件求解，在本题中是效用的最大化，不是收益的最大化。

解：根据长期均衡时，效用最大化的条件有：

　　MU_M＝MU_S＝MU_Q

而，MU_M＝Q^αS^β_；　（1）

MU_Q＝αMQ^α-1S^β_； （2）

MU_S＝βMQ^αS^β-1_； （3）

从而，由（1）和（2）可以得到Q＝αM；（4）

　　由（1）和（3）得到S＝βM； （5）

　　由（2）和（3）可以得到αS＝βQ （6）

由于约束条件为M＋PQ≤m，而P＝ηS^γ；所以有：M＋S^γQ≤m（7）

将条件（4）与（5）代入到（7）式中，有M＋η（βM）^γαM≤m即

M+αβ^γηM^γ+1≤m（8）

由于M+αβ^γηM^γ+1对于M的一阶导数大于0，

因此，函数y= M+αβ^γηM^γ+1是关于M的单调增函数；

将条件（4）与（5）代入效用函数U＝M Q^αS^β，

有U＝α^αβ^βM^α+β+1，其对于M的一阶导数大于零，是M的单调增函数；

由此，只要取 M+αβ^γηM^γ+1＝m，即可求出最大化的效用数值。

　而M+αβ^γηM^γ+1＝m有唯一解（这个方程我解不开，但可以证明有唯一解）

设其解为M＝m₀，那么，最大化的效用为：maxU=α^αβ^βm₀^α+β+1

以下是引用万岁大中华在2005-10-7 23:59:41的发言：…根据长期均衡时，效用最大化的条件有：MU_M＝MU_S＝MU_Q…

这个条件不对：如果套用，MUi/Pi彼此相等，不是MUi直接相等。（此条件也只是一阶条件，即使取到，也未必是最优的）

sungmo

"个条件不对：如果套用，MUi/Pi彼此相等，不是MUi直接相等"

你的提议很好。让我再想一想。会有答案的。

以下是引用万岁大中华在2005-10-7 23:59:41的发言：

大家注意：

　　这个题中的条件是规模报酬递增的生产函数，在这种情况下，不能用利润最大化求解，而是要用成本法，或者用长期均衡时的条件求解，在本题中是效用的最大化，不是收益的最大化。

解：根据长期均衡时，效用最大化的条件有：

　　MU_M＝MU_S＝MU_Q

而，MU_M＝Q^αS^β_；　（1）

MU_Q＝αMQ^α-1S^β_； （2）

MU_S＝βMQ^αS^β-1_； （3）

从而，由（1）和（2）可以得到Q＝αM；（4）

　　由（1）和（3）得到S＝βM； （5）

　　由（2）和（3）可以得到αS＝βQ （6）

由于约束条件为M＋PQ≤m，而P＝ηS^γ；所以有：M＋S^γQ≤m（7）

将条件（4）与（5）代入到（7）式中，有M＋η（βM）^γαM≤m即

M+αβ^γηM^γ+1≤m（8）

由于M+αβ^γηM^γ+1对于M的一阶导数大于0，

因此，函数y= M+αβ^γηM^γ+1是关于M的单调增函数；

将条件（4）与（5）代入效用函数U＝M Q^αS^β，

有U＝α^αβ^βM^α+β+1，其对于M的一阶导数大于零，是M的单调增函数；

由此，只要取 M+αβ^γηM^γ+1＝m，即可求出最大化的效用数值。

　而M+αβ^γηM^γ+1＝m有唯一解（这个方程我解不开，但可以证明有唯一解）

设其解为M＝m₀，那么，最大化的效用为：maxU=α^αβ^βm₀^α+β+1

我又仔细思考了一下儿，觉得这个解法好象有问题，又好象没有问题。

原因如下，如果考虑价格在内的因素，从利润最大化或者成本最小化的角度出发，应当在边际效用除以相应的价格下取相等；

但是，如果不考虑价格因素，只考虑题目中要求的三个变量，则所求的最大化只是关于三个变量的效用最大化，那么价格P只不过是一个联系效用函数和限制条件的一个纽带，这样就避开了价格P的变化的复杂局面。

请大家多多指正。

这个题目肯定是没有解了！

“Q的边际效用递减，S的边际效用递增。”

首先谢谢斑竹的答复，我已经完全明白了。这个题的问题的确是出在没有一般性的最优值上面。下面我给大家详细解释一下

考虑更简化的问题

MAX(A,B)=A^aB^b

s.t.:AB=1

a<b

转化为无约束问题：

MAX(A,B)=B^b-a

可知在原来约束下没有最大值（最大值实际上是无穷，当且仅当B取无穷）

把A、B看作两种不同的要素，B边际报酬要高于A。此例显示要最大化幂积形式的目标函数就要求将所有预算尽可能的投入报酬更高的要素B。只有当A的投入量有明确的下限并且该下限不为零时，目标函数才能取得最大值。

拉格朗日法本身并没有问题。只是当原规划没有最值的时候，拉格朗日法就得不出答案。

上例可以看作是原题的简化，反映的问题是一样的。只是变量由两个变成了三个。在现实问题中由于商品的单位至少为1，因此有Q>=1的条件。这样就有最大值了。

to cluo：

原题MAX(M,S,Q)说的很清楚，P不是自变量，加入P只是为了让预算约束式显得更直观。实际求解过程中根本用不到P

to 万岁大中华

你的做法在有内点解时是对的，对角点解就失效了。还有这是效用问题。条件只是形如CD函数而已。

这道题是由一个模型变化而来的，当中漏了点条件。该题目的最大意义在于揭示了效用最大化要求把资源全部投入边际报酬最高的要素。

本题试解如下：

解：首先必须指出，题目中给出的约束条件，即M＋PQ≤m，是对于所有投入品的约束，即总成本约束，因此才会称为预算约束；

其次，在本题中的成本投入应当包括两种：一是计价品M，二是对于改进质量的投入P_S·S。由于计价品M是以货币投入量来代表的，因此我们可以得出如下的分析结论：

M + P_S·S ≤m　　　　　　　　　　　　　（1）

由效用函数最大化的一阶条件有：

MU_M/P_M＝MU_S /P_S　　　　　　　　　　　　（2）　

（注意，真正的成本投入品为S和M，不是Q）

MU_M/P_M ＝ Q^αS^β/P_M ＝Q^αS^β（P_M的单价为1）（3）

MU_S /P_S＝βMQ^αS^β-1/P_S； 　　 　　　 （4）

而由原题中给出的约束条件：M＋PQ≤m （5）

可以得到PQ≤m－M 　　　　　　　　 　 （6）

其中m－M为预算中对于S的约束，取最大值有

P_S·S= m－M，而PQ≤m－M = P_S·S；

假定厂商是理性的，那么他一定会在利润最大化的条件下运行，

得出PQ = P_S·S（M可以看作是沉淀成本）　（7）

那么P_S＝P·Q/S　　　　　　　　　　　　　（8）

已知条件有：P＝ηS^γ 　　　　　　　　 （9）

将（9）式代入（8）式中有，P_S＝ηS^γ－1·Q　（10）

联立（2）式、（3）式、（4）式、（9）式和（10）式有：

= P·Q = ηS^γQ＝βM　　　　　 　　 （11）

代入约束条件（5）式中，有M + βM = m（这里取了约束边界点）

从而得出M＝m/（1+β） （13）

由于厂商对于质量上的投入可以控制市场需求的价格，因此，厂商属于完全垄断市场地位，又由于M已经得出，并且为常数，因此，可以看成为沉淀成本。

该垄断性厂商的需求函数为： P·Q =βm/（1+β），它没有供给函数，但是有关于S的边际成本的变化，即P_S·S ＝βm/（1+β）＝P·Q；根据垄断性厂商的均衡条件有：MC＝MR，

即P_S＝P，那么可以得出S＝Q　　　　　　　（14）

将（9）式和（14）式代入到（11）式中，有

P_S·S＝ηS^γ－1·Q·S＝ηS^γ+1＝βm/（1+β）

从而可以求出P_S =｛βm/［（1+β）η］｝^{1/ (γ+1)}＝Q；（15）

将（13）式与（15）式代入到效用函数中，有

maxU（M，Q，S）＝m/（1+β）·｛｛βm/［（1+β）η］｝^{1/ (γ+1)}｝^（α+β）

即maxU（M，Q，S）＝（α/β）^{(α+β)/ (γ+1)}［m/（1+β）］^{(α+β+1)/ (γ+1)}