陈强《高级计量经济学》中关于极端数据、杠杆值的问题

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陈强《高级计量经济学及Stata应用》一书P124-125页：

对于一元回归，可以通过画(x,y)散点图来直观地考察是否存在极端观测值。但画图的方法对于多元回归则不可行。可以证明，第i个观测数据对回归系数的“影响力”或“杠杆作用”(leverage)可以通过投影矩阵\[\mathbf{P}\equiv \mathbf{X}(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{X}'\]的第i个主对角线元素来表示：\[\mathrm{lev}_i = \mathbf{x}'_i(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x}_i\]所有观测数据的影响力lev_i满足:\[\displaystyle (1) 0\leqslant \mathrm{lev}_i \leqslant 1, i=1,\cdots,n\]\[(2) \sum_{i=1}^n \mathrm{lev}_i = K(解释变量个数)\]因此，影响力lev_i的平均值为K/n. 记b^{(i)}为去掉第i个观测数据后的OLS估计值，则有：

\[    \textbf{b} - \textbf{b}^{(i)} = \frac{1}{1- \mathrm{lev}_i} (\textbf{X'X})^{-1}\textbf{x}_ie_i\]
请问最后的式子如何证明？实在抓耳挠腮绞尽脑汁不得其解！

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关键词：高级计量经济学 计量经济学 计量经济 高级计量 经济学 经济学

格林书里记得有加一个观测数据的，证法类似，自查。

确实找到了，这是原题：\[\begin{align*}     \mathrm b_{n,s}&=(\mathrm X_{n,s}'\mathrm X_{n,s})^{-1}     (\mathrm X_{n,s}'\mathrm Y_{n,s})\\     &= \mathrm b_n - \frac{1}{1+\mathrm x_s'(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s}     (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}     \mathrm x_s \mathrm x_s'\mathrm b_n+(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_sy_s\\     &\quad - \frac{1}{1+\mathrm x_s'(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s}     (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1} (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s\mathrm x_s'     (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_sy_s\\     &= \mathrm b_n + (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_sy_s     - \frac{\mathrm x_s'(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s}{1+\mathrm x_s'     (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s} (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}     \mathrm x_sy_s\\     &\quad - \frac{1}{\mathrm x_s'(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s}     (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s\mathrm x_s'\mathrm b_n\\     &= \mathrm b_n+\left(1-\frac{\mathrm x_s'(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s}     {1+\mathrm x_s'(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}     \mathrm x_s}\right)(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_sy_s -     \frac{1}{1+\mathrm x_s'(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s}     (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s\mathrm x_s'\mathrm b_n\\     &= \mathrm b_n + \frac{1}{1+\mathrm x_s'(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s}     (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_sy_s     - \frac{1}{1+\mathrm x_s'(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}     \mathrm x_s(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}}\mathrm x_s\mathrm x_s'\mathrm b_n\\     &= \mathrm b_n +\frac{1}{1+\mathrm x_s'(\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1}\mathrm x_s}     (\mathrm X_n'\mathrm X_n)^{-1} \mathrm x_s(y_s - \mathrm x_s'\mathrm b_n) \end{align*}\]
虽然陈强老师的书上在细节上有点不一样，但我硬是折腾了仨小时！
我还是再努努力

楼上的兄弟没证毕，我来补充一下