后天就要考试了，再发道题出来求助

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题目:每个生产产品X的厂商都具有下列长期生产函数: x=A^(0.5)*B^(0.5)*C^(0.5)/9.其中x是每周产量,单位为吨,A,B,C是三种要素每周的头伏,生产要素价格分别为Pa=1,Pb=9,Pc=18.市场对该产品的需求曲线为p=216x^(-0.5),其中p是每吨的价格,x是每周购买的吨数.

A.如果该行业由一追求利润最大化的垄断者控制,在长期均衡下他将经营多少工厂,利润多少.

B如果假设该行业由政府接管,有可能采取下列两个规划中的一个:1),指定使盈亏平衡的价格.2)指定等于边际成本的价格.上述两种下,价格分别是多少.

我做这道题的时候,老是觉得缺条件,只列出三个方程,差一个,求教各位达人了

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关键词：利润最大化 生产函数 生产要素 需求曲线 边际成本 考试

　　伙计：题目我正在做，估计得晚上了，不过先告诉你一个题目中的隐含条件，你也可以先做一下儿：

　　这个题目的生产函数是一个规模报酬递增的生产函数，这样的话，企业的规模越大越好，因为投入增加到n倍，产出增加n的1.5次方倍，这样，垄断厂商就只保留1个工厂，而不会多设工厂。这就是隐含的条件。

老大，你的确是很厉害啊，很是佩服，这个问题的确像你说得那样

但是第一题的结果是16，利润288

我明白了，企业个数n不仅仅关系到总产出，而且关系到价格。我今天晚上做一下儿，明天上午给你。

本题试解如下：

解：A、首先要求出厂商的长期成本函数，

由每个厂商的生产函数有：Q_X=A^0.5B^0.5C^0.5/9；

其中Q_X 为单个厂商的每周产出，用以区别每周的市场总需求量X。

从而MU_A/P_A =0.5 Q_X /（A·P_A ）=0.5 Q_X /A；

MU_B/P_B =0.5 Q_X /（B·P_B ）=0.5 Q_X /（9B）；

MU_C/ P_C=0.5 Q_X /（C·P_C ）=0.5 Q_X /（18C）；

由长期成本函数均衡条件：MUi/Pi=MUj/Pj，（i≠j）（其中i，j为投入品，Pi和Pj为对应的投入品价格）可得：

A = 9B = 18C，即A＝18C，B=2C，C＝C₀

这是每个厂商在长期条件下的成本最小时的最优要素投入量的组合。

我们由此可以求出每个厂商的成本函数：

由生产函数Q_X=A^0.5B^0.5C^0.5/9可得：

Q_X=（18C）^0.5（2C）^0.5C^0.5/9 = 6C^1.5/9 = （2/3）C^3/2，

而每个厂商的总成本为：TC = P_A·A + P_B·B+ P_C·C=54C₀，

注意：C只是投入品，不代表成本；

于是每个厂商的总成本TC = 54［（3/2）·Q_X］^2/3

假设有n个厂商，那么市场的总供应量为：X = n·Q_X；而n个厂商的总成本为：

n·TC = 54n［（3/2）·Q_X］^2/3

由此建立垄断厂商的总利润函数为：

L（n，Q_X）=P·X－n·TC

= P·n·Q_X －n·TC（将P=216X^-0.5代入式中）

= 216（n·Q_X）^0.5－54n［（3/2）·Q_X］^2/3

我们用另一种方法来做，有：

由于生产函数Q_X=A^0.5B^0.5C^0.5/9，可知该函数是一个规模报酬递增的生产函数，即各种要素投入增长到λ倍，那么总产出会增长到λ^1.5，我们假定总投入不变，即总成本不变，那么当企业被拆分为n个，则每个企业的产出为n^-1.5于原来的产出，那么总产出变为n^-0.5倍于原来的总产出，那么我们有：

假设只有1个企业，那么总产出X₁ = Q_X¹ =Qmax；

而假设有n个企业时，所有企业的总产出X_n为：

X_n=n·Q_Xⁿ；

在n个企业中，单个企业的产出为：Q_Xⁿ= A^0.5B^0.5C^0.5/9=2C^1.5/3=2C₀^1.5/3

而Q_Xⁿ=(1/n)^1.5 Qmax = n^-1.5 Q_X¹= n^-1.5 Qmax

从而X_n = n^-0.5 Q_Xⁿ= n^-0.5 Qmax

又因为P_X=216X_n^-0.5 = 216（n^-0.5 Qmax）^-0.5=216n^1/4 Qmax^-0.5

所以P_X·Xⁿ =216n^1/4 Qmax^-0.5 ·n^-0.5 Qmax = 216n^-1/4 Qmax^0.5

单个企业的总成本为：

P_A×A+ P_B×B+ P_C×C = A + 9B + 18C =54C₀ =54［（3/2）Q_Xⁿ］^2/3

n个企业的总成本为54n ［（3/2）Q_Xⁿ］^2/3

而Q_Xⁿ = n^-1.5Qmax ，Q_Xⁿ = n^-1.5Qmax

代入到利润函数中，有：

L（n，C）= P·X _n－54n ［（3/2）n^-1.5Qmax］^2/3

= 216X_n^0.5－54n ［（3/2）n^-1.5Qmax］^2/3

= 216（n^-0.5 Qmax）－54n ［（3/2）n^-1.5Qmax］^2/3

这与上面所做出的方程是一样的。那么就是说我们的判断没有错误。

其实我在想，这个垄断厂商在出售产品时会不会采用市场出清的方式拍卖，那么这个题目可就真的就太复杂了，砸锅了。

接着做，看来只有限定了Qmax，将其视为常数，才能有解了。

由第一种思路，我们得到了：

L（n，Q_X）=P·X－n·TC

= P·n·Q_X －n·TC（将P=216X^-0.5代入式中）

= 216（n·Q_X）^0.5－54n［（3/2）·Q_X］^2/3

首先对n求偏导数，有：

∂L/∂n = 108 Q_X^0.5·n^-0.5－54［（3/2）·Q_X］^2/3 = 0

得出：n = 4 Q_X^-1/3·（2/3）^4/3

回代入利润函数中，有

L（Q_X）=216（n·Q_X）^0.5－54n［（3/2）·Q_X］^2/3

= 216（4 Q_X^-1/3·（2/3）^4/3·Q_X）^0.5－54［ 4 Q_X^-1/3·（2/3）^4/3］·［（3/2）·Q_X］^2/3

= 432·（2/3）^2/3 ·Q_X^1/3－216·（2/3）^4/3（3/2）^2/3 Q_X^1/3

= 216·（2/3）^2/3 ·Q_X^1/3

由此说明了，利润函数是Q_X的单调增函数。

首先感谢楼上的兄弟.

还有,我有个思路,对于每个小企业 LMC=LAC.不知道对不对.

所以取边界点，即n=1时，有：

L（Q_X）=216Q_X^0.5－54［（3/2）·Q_X］^2/3

令一阶导数等于0，有：

L’（Q_X）=108 Q_X^-0.5－36·（3/2）^2/3·Q_X^-1/3 = 0，

于是得：Q_X=324

由此，垄断厂商的总利润为：

L（Q_X）=216Q_X^0.5－54［（3/2）·Q_X］^2/3 =3888－1458·12^1/3

=3888－2916·1.5^1/3

这个数据要大于3888－2916·1.2 =388.8；

要比答案中的利润288要大，那么我觉得是答案有问题，要不就是缺少条件。

我也觉得题目有点问题,始终做不出答案出来.    我做题的时候不知道怎么回事,脑子里数学成分比较多,不善于分析不同类型市场之间的区别,老是先求利润再求利润最大化条件,做什么题都是这样,不知道如何能解决

从长期来讲，长期的平均成本LAC的最低点和长期边际成本LMC是相同的。