觅：对Andreu Mas-colell ,Michael D.Whinston ,jerry R.Green 那套微观经济学教科书有兴趣的同行为友

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本人为自学者，因学校无人教授，但自己有想更高层次的学习西方经济学．

本人使用的是中国社会科学出版社的那上下两册

请教那位高人：

１．为什么间接效用函数要求拟凸的，它以为着什么？

２．原书有这么一句话：虽然＞～的单调性和凸性意味着所有代表＞～的效用函数都是递增的和拟凹的．递增性和拟凹性是u( )的序数性质．

这里要问的就是，１单调性意味递增，凸性意味拟凹．２以及拟凹性是序数性质，１是为什么？２是怎么体现出来的？

问得有点含混不清，请指点

qq:41538946

[此贴子已经被作者于2005-11-4 7:43:02编辑过]

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关键词：Mas-colell Whinston Michael Colell Andreu 微观经济学 Michael Green Andreu jerry

你的拓扑知识补上没有，如果没有，建议和我一起补拓扑

回答你的问题：

1、要问为什么间接效用函数是拟凸，这是由于其偏好关系的任何下轮廓集合都是凸性的，亦即对任意效用u，集合{(p,w):v(p,w)<=u}都是凸集。

对于欧几里德n维空间，我们有定理，若某函数（f:R^k->R，一个从k维向量到实数的映射）的上轮廓集合为凸，则该函数为拟凹的，若其下轮廓集合为凸，则该函数拟凸。

为什么间接效用函数的所有下轮廓集合为凸集呢？那是因为如果两个不同的（p,w）所得到的最大效用都至少不大于某个特定的效用水平，则这两个（p,w）之间的所有点都至少不大于那个特定的效用水平。反之则该偏好关系肯定不是凸的。

也就是说，根本原因在于偏好关系的凸性，它决定了间接效用函数的下轮廓集的凸性，也就决定了间接效用函数是拟凸的。（当然还有一个绝对前提，亦即local nonsatiation,我不知道怎么翻译了，但是如果不满足这个性质，就算偏好关系是凸，也不能确定间接效用函数的下轮廓集的凸性，这里我就不赘述了，但是这个重要性质保证了Walras Law，亦即保证效用最大商品束在无限远处，而不会在商品束定义域上突起一块来）

（有可能我翻译的不准，我是不知道该怎么翻译下轮廓集合这个名词，原文是lower contour set，我们有：若偏好关系是连续的，则任何下轮廓集合都是闭集。）

2、偏好关系上的单调性意味着效用函数是递增的，这是多维自变量函数单调性的定义，关于凸性意味着拟凹，我在上面已经提供了欧几里德空间定义域集合和函数凹凸性的定理；效用函数本身就是一个从多维变量到实数的映射，它本质上只是一个代表不同消费束的偏好递增关系，所以是一个序数，也就是说，它只要能够准确反映消费者的偏好关系就可以了，任何只要反映同一个偏好关系的不同效用函数都是等价的，都只有一个宗旨，就是说明这个消费束是第一，那个消费束第二……

这里我要多强调一点，如果偏好关系不是连续的，则效用函数不一定存在，即使存在，也不会是连续的。

如果偏好是单调的，则效用函数就是递增的，那么给效用编号就显得比较容易。

不知道这么解释，你能不能理解呢？由于数学术语太多，我也没有办法，数学这种抽象的东西，还是自己下苦功比较好。我觉得我已经解释的算比较充分了，表达不清也许基于我学得英语教材数学，某些术语依旧不知道怎么准确翻译，望见谅……

回楼上,多谢指点,一看就知道是达人.望以后本人再发贴提问,请多多惠顾!我理解了,不过我这里不是上下轮廓集,是上下等高集,而local nonsatiation的中文意思是局部非饱和.这也是参看高人翻译.

请问二楼的斑竹,你是补点集拓扑吗?我用的是熊铨淹的那本,你用何教材,请指点

晕，中文的我不会，因为我微观最初学的就是英文的，希望大家用英文交流，即使语法错误社么的都没有关系，主要是专业术语对了就可以理解了

我的英文答案如下：

1、Every lower contour set of the vector space of p,w is convex, i.e. all sets {(p,w):v(p,w)<=u} are convex for each utility level u. As a result, the indirect utility function is quasi-convex.

For n-dimension Euclidean space, we have theorem that: for f: R^k->R (a mapping from k-dimension vector whose elements are real numbers to real number), that every upper contour set of the domain is convex is equivalent to that the function is quasi-concave, that every lower contour set of the domain is convex is equivalent to that the function is quasi-convex.

The reason why every lower contour set is convex is due to the convexity of the preference relation. For any different price-wealth pair (p,w) and (p',w'), we can get two different optimal bundles through the demand function x(p,w), and they are both points given by the intersection of the convex indifference curves and the budget line. The new price-wealth (ap+(1-a)p,aw+(1-a)w) draws a new budget line tilted around the intersection of the original two budget lines. We can easily find that the new utility level given by the new price-wealth pair is no more than the maxmum utility of the original price-wealth pair.That is, for any two different price-wealth pair (p,w) and (p',w'), we have v(ap+(1-a)p,aw+(1-a)w) <= max[v(p,w),v(p',w')].

The convexity of the preference determines the the quasi-convexity of the indirect utility function. Another crucial assumption is the local nonsatiation, which says that we can always find a more preferred point around a certain point on consumption bundle space. This assumption rules out the extreme situation in which the consumer prefers a certain kind of comsumption budle to any other bundles. And the local nonsatiation is the basic assumption of the Walras Law.

2.The monotonicity of the preference relation means the utility function is monotone, i.e. for any x and y in R^k, y >> x implies y is preferred to x. (y>>x means each element of y is greater than the corresponding element of x). Utility function is a mapping from n-dimension vector to a real number, and it actually assigns numbers to different consumption bundles in an order-preserving way.

其实大概只要用到微积分的知识就可以解决了

小弟也在拜读MAS-COLELL的那本书

其实那个是有答案的

你在网上找一找吧

然后很多问题就很好解决了

几位高人给指点一下补数学知识的数学书吧。现在市面上数学书太多了，我不学数学好多年，基本都忘光了。但我自己有信心从头补起来，请给推荐几本数学书。（我本科时微积分学的是同济的高等数学，不过那已经是20多年前了）谢谢了。

我建议你用上海财大的一本，经济数学与模型 外国人写的，中文版，原价大概80多元，包括集合，微积分，拓扑，最优化，泛函等经济用到的数学知识，也是国外流行的经济类研究生教材。我在看