求助一道寡头垄断的计算题，想不明白(已解决)

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两家厂商生产同质商品并且具有相同的成本函数，c(q)=F+0.5q^2。厂商A的产品可在两个市场销售：市场1为完全竞争市场，市场2中，厂商A与厂商B处在古诺竞争均衡；厂商B的产品只在市场2销售。市场2得反需求函数为P=200-q
(1)若市场1的价格为50，求A B两个厂商的产量及其利润。
（2）若市场1的价格上升到55，求A、B 厂商利润及相应两个市场的产量。
答案。（1）厂商A在竞争市场销售为0。在第二个市场上A、B各销售50，πA=πB=3750-F
       (2)厂商A在第一个市场上销售8，在第二个市场销售47，B在第二个市场上销售51，
          πA=3721.5-F   πB=3901.5-F
疑问：我觉得（2）的答案应该和一样，厂商A在两个市场上销售的利润小于只在垄断市场上销售的利润。而且如果答案对的话，第二种情况厂商A在市场一销售，那么第一种情况为什么不在市场1销售呢。           
           

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关键词：寡头垄断 已解决 计算题 不明白 完全竞争市场 求助 垄断 寡头

summersalase 发表于 2009-9-4 15:55
两家厂商生产同质商品并且具有相同的成本函数，c(q)=F+0.5q^2。厂商A的产品可在两个市场销售：市场1为完全竞争市场，市场2中，厂商A与厂商B处在古诺竞争均衡；厂商B的产品只在市场2销售。市场2得反需求函数为P=200-q
(1)若市场1的价格为50，求A B两个厂商的产量及其利润。
（2）若市场1的价格上升到55，求A、B 厂商利润及相应两个市场的产量。
答案。（1）厂商A在竞争市场销售为0。在第二个市场上A、B各销售50，πA=πB=3750-F
       (2)厂商A在第一个市场上销售8，在第二个市场销售47，B在第二个市场上销售51，
          πA=3721.5-F   πB=3901.5-F
疑问：我觉得（2）的答案应该和一样，厂商A在两个市场上销售的利润小于只在垄断市场上销售的利润。而且如果答案对的话，第二种情况厂商A在市场一销售，那么第一种情况为什么不在市场1销售呢。           
           

(2)的答案确实和(1)的不一样，我们先假设A在第一个市场上销售q0,第二个市场销售q1,B第二个市场销售q2,MC都=q，A在第一个市场MR=55,第二个市场MR=200-2q1-q2,B在第二个市场MR=200-q1-2q2，由于厂商只会在MR>=MC的地方生产，因此可以得到以下式
55=q=q0+q1;
200-2q1-q2=q=q0+q1;
200-q1-2q2=q2;
解出来就是以上答案 (2)了。
不知这个答案是否满意

楼主的怀疑是对的，书上给的答案和楼上的答案都有问题。(8,47)对于第一个厂商而言显然不是最大化利润点，在p=55的情况下，厂商一直接采取(0,50)就可以获得更高的利润。

这两个答案都忽略了一个问题，即这个问题是不等式条件最优化而不是无条件最优化，其中q0>=0这个条件在最优化的过程中是会binding的。楼上的解法忽略了这个条件，得出来一个q0>0的内点解，貌似解决了问题，q0>=0的条件在这个解下也没有binding。但是Kuhn-Tucker定理并没有说这个点就一定是最优点，（前面已经说了，确实不是最优点）。用无条件最优化的方法相当于在Kuhn－Tucker里面直接忽略了\lamda>0的情况。这个问题的标准解法应该是，设定一个完整的Kuhn-Tucker问题，就可以解出来两个解：(0,50)和(8,47),其中第一个解\lamda>0,第二个解\lamda=0。限制一下最优化的范围之后我们可以用外尔斯特拉斯定理说明存在一个全局最优；检验限制条件的Constraint Qualification之后可以用KT定理说明这个全局最优就是这两个解中的一个。直接计算两个解的利润，就可以知道第一个解是全局最优，第二个解不是。

如果不使用KT方法，第一个解直接就被忽略了，所以只有一个看似正确的内点解。其实这个内点解一点用处都没有，不仅不是全局最优，甚至连局部最优都不是，只是一个内点满足切线条件的解。这种情况在不等式最优化中很常见，尤其是在忽略不等式条件直接按照拉格郎日方法或者无条件优化直接求解的时候容易出现。

第一问用无条件优化解出来的解和KT是一样的，这个纯粹是歪打正着，因为在第一个问题里面全局最优解恰好在q0>=0的条件的边界上，所以不等式条件恰巧失效，出现了q_0=0且\lamda=0的特殊情况。

直觉上理解这个问题也很容易，在最优解里面q_0>=0这个条件的影子价格一定是正数而不能是零（等价于q0=0）。因为第一个市场里面的价格只有50多，而第二个市场上有100多，如果有可能的话，第一个厂商会想从第一个市场买入（q0<0）,然后在第二个市场卖出，在这个情况下q0>=0显然是一个costly的限制条件，故影子价格为正。

呵呵，谢谢大家的指教，又解决了一个问题