关于KMV模型一个问题求解

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如何证明：当违约距离的负值-DD与预期违约概率P假设为标准正态关系时，DD与违约点DT负相关，即随着违约点DT增大，预期违约率P增大。前提条件，等式中u，VE，E的标准差，T，r，已知为常数且保持不变。
这个从经济学意义和MATLAB实证模型数据来看都很明显，但是数学上如何证明，本人数学基础不好，不太搞得明白，求大神解答！

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关键词：KMV模型 问题求解 KMV MATLAB matla 模型

如果asset的标准差sigma(A)是常数，那么在这个问题里，u、VE、sigma(E)、sigma(A)、T、r都是不变的常数，可能变化的基本变量是DT和VA，其他变量(d1, d2, DD, P)的变化都是由这两个变量数值的变化所引起的。

由sigma(E)*VE =sigma(A)*VA*N(d1)可知 VA*N(d1) 为不变的常量，代入式(3.12)可知 DT*N(d2) 也是常量。因此当DT增大时，N(d2)减小，由N()为单调增函数可知 d2 减小。由于d2和d1只相差一个常数项，因此d1也是减小的。回到VA*N(d1) 为不变的常量这一点，d1减小使得N(d1)减小，因此VA是增大的。
这时我们得到的结论是：DT增大时，VA也增大。结合DD的表达式，分子中的前后两项都减小，因此DD是减小的。所以，DT增大时，DD减小（从而P增大），即DD与违约点DT负相关。

zhouhao211314 发表于 2017-5-10 13:17
如果asset的标准差sigma(A)是常数，那么在这个问题里，u、VE、sigma(E)、sigma(A)、T、r都是不变的常数，可 ...

不好意思，我之前的回复可能有些误导，我说sigma(A)为常量，是说sigma(A)不随时间变化，其他条件不变，在DT取不同值时，sigma(A)和VA一样，在方程组中都会发生变动。
因此这一步是不是不太对？ “由sigma(E)*VE =sigma(A)*VA*N(d1)可知 VA*N(d1) 为不变的常量。”

不好意思，我之前的回复可能有些误导，我说sigma(A)为常量，是说sigma(A)不随时间变化，其他条件不变，在DT取不同值时，sigma(A)和VA一样，在方程组中都会发生变动。

个人觉得无法认同你的这种说法。首先，这类模型是基于B-S模型的，假设公司的资产价值VA是一个Geometric Brownian Motion，(3.12)式就是基于B-S公式计算的一个“underlying asset初始价格为VA，time-to-maturity为T，行权价为DT”的Call Option的价格，在这个模型里代表公司equity的价值。从建模的角度来说，在B-S模型建立时期权的行权价和underlying asset的volatility是没有必然联系的，DT的取值和sigma(A)都是你在求解模型时的输入量，所以“DT取不同的值时，sigma(A)的值在方程组中会发生变动“并不是模型的直接假设或隐含假设。进一步来看，如果sigma(A)是DT的函数，那么是无法利用B-S公式计算期权价值的。

另外，从资产负债的角度看，VA = VE + VD，即公司的资产价值等于所有者权益加负债，对此的正确理解为公司通过equity和debt两种途径进行融资来购买资产的。因此”当债务(DT)增加时(同时问题中假设VE不变)，公司资产(VA)增加“是容易理解的。但资产的波动率是由其资产本身的质量和性质决定的，与公司的债务(DT)水平的变化并没有必然联系。例如，公司购买一批资产(原材料、生产资料等)，不管公司是通过股票还是债券来融资的，并不会影响这些资产本身的波动率。

总的来说，之前的问题是：在建立KMV模型后，如果改变DT的值而保持其他量不变，DD会如何变化？在这里“改变DT的值而其他量保持不变”应当理解为“最初仅人为改变DT的值，在DT变化的情况下，如果模型本身隐含(imply)某些变量的值需要发生变化，那么这些变量的值可以改变，除此以外其余变量的值保持不变”。就个人理解而言，DT增大(而VE不变)时，“VA增大”为模型本身的隐含条件，而“sigma(A)发生变化”并不是模型本身隐含的结论。如果你同时变化DT和sigma(A)，则属于人为改变了两个输入参数的值，而sigma(A)的变化意味着你人为改变了对公司资产波动率的估计值，而并非是由于DT的变化造成的。

zhouhao211314 发表于 2017-5-12 11:51
个人觉得无法认同你的这种说法。首先，这类模型是基于B-S模型的，假设公司的资产价值VA是一个Geometric B ...

然而这个方程组确实可以在已知DT, T, Ve, sigma(e), r的情况下，直接求出Va和sigma(a)。且在DT这一个变量改变时，Va和sigma(a)也会相应改变。

xyhwwwww 发表于 2017-5-12 23:12
然而这个方程组确实可以在已知DT, T, Ve, sigma(e), r的情况下，直接求出Va和sigma(a)。且在DT这一个变量 ...

是这样吗？不如你真的动手解一下sigma(a)，看看是不是真的像你说的那样，注意d1和d2不是基础的变量，里面包含VA、DT、sigma(a)，不能出现在sigma(a)的表达式中。如果你真的能够解出sigma(a)的显式表达式，那就看看结果是不是支持你说的，改变DT的值会造成sigma(a)的变化。这时候要注意你是无法假设DT变化而其他量不变的，因为DT变化而VE不变时，VA是会随DT变化的，在这种情况下看看能不能得到sigma(a)必然随DT变化的结论。如果你解不出sigma(a)的显示表达式，也不清楚DT的变化会不会造成sigma(a)的变化，那就建议你从B-S模型的建立过程开始从头理解一下这个问题，不要仅仅局限在这几个数学表达式中。