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从环出发构造域的两种方法 文/更远大侠 类比是重要的学习与研究方法。类比是要发现不同事物之间的相似性，但又并非完全相同的性质。 从环出发构造域，有两种令人激动的方法，一是使用整环对于理想的商环来构造域，二是使用环的元素有序对的等价关系来构造分域。 一、从整环对于理想的商环来构造域 (Z，+，*)是一个环，而且是一个整环(domain)。由m的所有倍数构成的集合(m)是一个整数环的一个理想。一般情况下，m可能是可分解的，即m是合数，可分解成几个整数相乘，此时Z/(m)并非一个域，但肯定是一个环。如果m是质数p，则Zp就是一个整环，由于是交换整环，而且有逆远，本质上已经是一个域了。 同样道理，如果k是域，域k上的多项式环k[x]中一个多项式f(x)，则由f(x)生成理想(f(x))=I。一般情况下，如果f(x)在k[x]中是可以分解的，即存在两个阶次比f(x)低的g(x)与h(x)使得f(x)=g(x)h(x)，则商环k[x]/(f(x))不是整环，因为g(x)+I和h(x)+I在k[x]/(f(x))中不是零元，但它们在k[x]/(f(x))中的乘积(g(x)+I)(h(x)+I)=f(x)+I=I为零。因此k[x]/(f(x))不是整环。如果f(x)在k[x]中是不可分解的，是不可分解多项式irreducible polynomial，那么k[x]/(f(x))就是整环了。可以看到，作为构造商环来看，(f(x))的地位与(m)相当，而f(x)是不可分解多项式，相当于m是质数。 可见，不可分解性是f(x)和p的共同特征，而这种不可分解性，是他们生成的理想能够使其对原来的环的商环成为交换可除整环或域的关键条件。 说到底，从Z到Zp，是从环出发，用一个环的商环来构造域。从域k上的多项式环k[x]到商环k[x]/(p(x))，p(x) is irreducible，则这个商环构成一个域。这都是从环出发来构造域的例子。 二、分域：从环的元素有序对的等价类来构造域 从环出发构造域的例子，还包括在整数环Z的笛卡尔集Z*Z上的有序整数对集合中构造一个等价关系(a,b)与(c,d)等价，若ad=bc，则所有有序整数对的集合在上述等价关系下形成一个域，这个域就是有理数域。这种从环构造域的方法称为分域。有理数就是整数环的分域。分域的构造方法同样可运用于多项式环。若f(x)i(x)=g(x)h(x)，则定义有序多项式对(f(x),g(x))与(h(x),i(x))等价，这样形成的有序多项式对，其实就是有理式。有理式集合构成一个域。有理式域就是多项式环的分域。这在本质上与有理数域是整数环的分域完全一样。 上面两种从环构造域的方法具有一个共性，那就是都是使用了商集的概念。因此，商集这个概念在数学上真是强大啊。 |
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