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算术思维和代数思维
于德浩
2017.10.31
夜啦，看到一个三年级小学奥数问题，感觉用小学的算术知识来解一个初中代数方程的问题，很巧妙。细想一下，算术思维和代数思维其实是两种思考方式，前者侧重大略，所以称为“术”，而后者侧重精确，只能称为“学”或“技”。表面看，算术很简单，属于初等数学。但是，大巧若拙。就如同一个经理或主管做报告要用PPT，而老板布置公司战略只需要简单说两句就行。
回到具体的、经典的、古老的数学问题，鸡兔同笼问题。“鸡兔同笼，上有10个头，下有26只脚。问鸡兔各有几只？”现在我们都会不自觉的就囿于代数方程的思维方式，列个二元一次方程组，x+y=10,4x+2y=26；解得兔子x=3只，鸡y=7只。
对于一个没学过方程的8岁小孩，他该怎么办呢？他得有大胆的想象力，要是兔子都变成鸡，那么10个头就有20只脚。少的那6只脚，就是每只兔子多的俩腿来的，所以就是3只兔子。既然有仨兔子，那就剩下7只鸡了。大胆假设，小心求证；这就是算术，奥妙。
代数方程的方法，是把问题分为两步，一是列方程，二是解方程。而算术，则是真奔主题，两个步骤融为一体，一气呵成。消元法解方程的步骤，正是那个大胆假设。方程1式两边同乘以2，这就是假设所有的兔子都变成鸡；方程2式减去这个新的方程3式，就得到，(4x+2y)-(2x+2y)=6，这个就是多出的那6只脚；化简这个式子，然后两边同除以2，就是除的每个兔子多的俩腿；最后得出结果x=3，就指的是仨兔子。
代数方法的进步性，就是一个具体问题转化为抽象问题后，就无需再考虑形象逻辑了。就是说，你只要会消元法解方程就可以了；至于兔子真变成鸡了，还是兔子被砍掉两条腿，这个就不需要再想象了。
代数方法，是雕虫小技，适合更深入和更精确的研究问题；但“抛弃想象力”，就会使眼界不够宽广。如果事物给出的信息不够全面或很模糊，代数方程的思维方式是无能为力的。比如，上面的问题变成，“只看见26只脚，问鸡兔几何？”或者更模糊一点，“光看见脚丫子得20多个，问兔子和鸡各多少？”
这时，若再教条的通过方程求解，前面的问题是少了一个约束条件，一个方程俩未知数解不出来；对于后面模糊的问题，更是方程你都列不出来。但是，如果用算术思维，这个问题基本就可以解决。“26只脚，20多只脚啊？咱就按照平均每个鸡或兔子都是3只脚，那么就是大约摸共10只。如此以来，……，就是仨兔子、七只鸡了。大概差不多就行。”
也就是说，算术方法，可以根据想象力及现有的约束条件，合理的加上另外一个约束条件，使得这个方程组能够被求解。从数论的角度看，就是求4x+2y=26的正整数解。如果我们隐约觉得鸡比兔子多，兔子又不是太少，那么两组解{4，5}及{3，7} 是比较合理的解，其他的解都是增根。
我们中国人崇尚算术思维，可以解决小问题，也可以解决大问题。算术的估算解决不了的问题，代数精算也解决不了。比如，日常买菜算账等问题，口算就行了。对于买房子的大问题，也是口算，“一年大约收入10万元，要买一个300万的房子，不吃不喝得30年啊。买不起，不买。”精算是没有用的，这儿省省，那儿算计算计，多加班多挣个几万，买个理财产品多赚点利息，贷款利息优惠点等等。
买不起的东西就是不该买的东西，不需要精打细算；买得起的东西，若需要就买，不用讨价还价；不需要的东西，压根就不要买，跟买不买得起没关系，跟打折促销也没关系。
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