请教：关于偏好的单调、严格单调和局部非饱和性

fantasyshot 发表于 2009-11-5 10:56 还是不太明白y不劣于x的具体含义

“y不劣于x”包含两种可能：“y无差异于x”与“y严格优于x”；而“y严格优于x”只有一种可能。

两种单调性的区别是：当∀y≥x，y≠x时，弱单调性允许“y无差异于x”，而强单调性不允许。

通常所说的“偏好”，其实就是“不劣于”。通过“不劣于”，可以定义“严格优于”与“无差异于”。

“a严格优于b”的定义是：“a不劣于b”且“b不劣于a”不成立。

“a无差异于b”的定义是：“a不劣于b”且“b不劣于a”。

再换个角度说，由偏好的完备性知：

（1）当y=x时，自然有“y不劣于x”且“x不劣于y”（按“无差异于”的定义，即“y无差异于x”）。

（2）当y≠x时，“y不劣于x”与“x不劣于y”至少有其一成立（两者可能都成立，但两者不可以都不成立）。

弱单调性要求，此时若y≥x，则必有“y不劣于x”（至于“x不劣于y”是否成立，并不关心）；

强单调性要求，此时若y≥x，则必有“y不劣于x”但“x不劣于y”不成立（按照“严格优于”的定义，即“y严格优于x”）。

fantasyshot 发表于 2009-11-5 10:45
似乎懂了。但是有一点还是不太明白。既然单调性意味着y中每个分量大于x中对应的分量，而严格单调性意味着y中有一个分量大于x中对应分量即可（其他分量不小于x中对应分量），那么单调性就应该是就应该是严格单调性的充分条件，而不是相反啊。。。而书中正是严格单调性是单调性的充分条件。。。。

书中的观点是正确的。

严格单调性和单调性，都是指该偏好（二元关系）的性质。

所以对于某个偏好，严格单调一旦被满足了（一个分量大，其他分量相同，则整体大），则单调必被满足（根据传递性），这就是所谓“充分条件”了。

学习了，我也问个看书不懂的地方，希望大家帮忙解答下，谢谢：既然“局部非饱和性”意味着“不存在无差异区域”，那为什么在满足“局部非饱和性”的条件下，还会有无差异曲线的存在？

1# fantasyshot
不懂

hazzary 发表于 2009-11-5 22:00 既然“局部非饱和性”意味着“不存在无差异区域”

这里的关键是“区域”的定义。

数学上，（欧氏空间中）区域一般指“连通的开集”。

二维平面上，“无差异曲线”并不是开集，从而不是区域。

粗糙地说，局部非饱和性意味着“无差异曲线”没有“厚度”（如果有最优解，最优解一定在预算线上）。

1. Sun版，你的意思是说，一般地，“区域”指的就是“开集”，即“开区域”的缩写，如果碰到“闭集”的话，会明确指出是“闭区域”，是这样理解吗？
2. 如果将无差异曲线看成由一连串消费组合“点”组成的，也就是说点与点之间是无差异的，从极限的角度看，不是可以找到一个无差异区域吗？
我可能有点吹毛求疵，呵呵^_^

hazzary 发表于 2009-11-6 12:15
1. Sun版，你的意思是说，一般地，“区域”指的就是“开集”，即“开区域”的缩写，如果碰到“闭集”的话，会明确指出是“闭区域”，是这样理解吗？
2. 如果将无差异曲线看成由一连串消费组合“点”组成的，也就是说点与点之间是无差异的，从极限的角度看，不是可以找到一个无差异区域吗？
我可能有点吹毛求疵，呵呵^_^

如果只提“区域”，一般指“开区域”（连通的开集）。对于连通的闭集，一般要明确指出“闭区域”。

以二维平面为例，若无差异的点的集合是一维曲线（比如偏好满足局部非饱和性），则该曲线不是开集（开集的各点都是内点），不是（二维）区域。

好的，谢谢sun版耐心的解答~