如何证明长期平均成本曲线是短期的包络曲线？

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如题。怎样从数学上证明？LAC是SAC的包络曲线（envelop）。

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关键词：长期平均成本曲线 成本曲线 LAC SAC 成本 如何 数学

运用包络定理就是了。包络定理的意思是，如果对一个值函数的变量（或参数）求导，等于原函数在最优点直接对变量求偏导。

理解包络线的关键在于，在最优点，证明长期成本曲线的斜率等于短期成本曲线的斜率。如果我们把长期函数看作产出和短期最优需求函数的函数，那么我们可以将长期成本函数在最优点对产出的导数（即长期成本曲线的斜率）根据链式法则分解为两部分：长期成本函数在最优点直接对产出求偏导；长期成本函数在最优点先对短期最优需求函数求偏导，后者再对产出求偏导。由于在最优点，长期成本函数先对短期最优需求函数的偏导数为0（一阶条件），所以我们得出：长期成本函数对产出的导数＝长期成本函数直接在最优点对产出求偏导，即长短成本曲线的斜率相等，当然是相切了。

如果你觉得上面的说法太绕了，请随便找一本高级微观教材看看。

真是模范版主，呵呵

版主果然厉害！

不过不才觉得如果证明这个命题应该就是套套逻辑了吧。

不是套套逻辑，这是运用数学的结果。

中学数学就可以解决

以下是引用nie在2004-12-14 20:14:00的发言：

运用包络定理就是了。包络定理的意思是，如果对一个值函数的变量（或参数）求导，等于原函数在最优点直接对变量求偏导。

理解包络线的关键在于，在最优点，证明长期成本曲线的斜率等于短期成本曲线的斜率。如果我们把长期函数看作产出和短期最优需求函数的函数，那么我们可以将长期成本函数在最优点对产出的导数（即长期成本曲线的斜率）根据链式法则分解为两部分：长期成本函数在最优点直接对产出求偏导；长期成本函数在最优点先对短期最优需求函数求偏导，后者再对产出求偏导。由于在最优点，长期成本函数先对短期最优需求函数的偏导数为0（一阶条件），所以我们得出：长期成本函数对产出的导数＝长期成本函数直接在最优点对产出求偏导，即长短成本曲线的斜率相等，当然是相切了。

如果你觉得上面的说法太绕了，请随便找一本高级微观教材看看。

我觉得比微观教材上说的清楚，赞一个！

不过不做题肯定还是搞不明白。

（假设要素价格恒不变）

设成本函数的一般情形为c(t,y)，其中t为时间，y为产量，则：

给定t，c(t,y)即t时的短期成本函数；长期成本函数lc(y)=c(t(y),y)，其中t(y)为给定y，使c(t,y)最小的t值，显然t(y)须满足一阶条件c’₁=0。

于是，dlc/dy=c’₁dt/dy+c’₂=c’₂。