问一高级微观的问题

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设n种商品，n大于等于2，Pi>0,证明每一商品至少有一个希克斯替代品
谢谢！！！麻烦说明的详细些

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关键词：高级微观 希克斯 替代品 替代品

不太清楚，感觉是利用交叉偏导相等的性质。。。偏hi/偏pj=偏hj/偏pi...

assume n=3
H(p1, p2,p3,u) is the Hicksian funciton for good 1  
H(p1, p2,p3,u) is homogeneous of degrees of zero in prices(这是 Hicksian demand 一个假设)
=>H(a*p1, a*p2, a*p3,u)=(a^0) * H(p1, p2,p3,u)=H(p1, p2,p3,u)
=>H(a*p1, a*p2, a*p3,u)-H(p1, p2,p3,u)=0
两边对a求导
=>p1*(d H / d a*p1)+p2* (d H / d a*p2)+p3*(d H / d a*p3)=0 因为 a 是定值      
(d H / d a*p1 表示Hicksian demand function 对 a*p1求导)
=>p1*(d H /  a* d p1)+p2* (d H / a* d p2)+p3*(d H /  a* d p3)=0  两边乘以 a
=>p1*(d H / d p1)+p2* (d H /  d p2)+p3*(d H /  d p3)=0     ---------（1）
因为 cost function  is concave (拟凹函数) => d Hi /  a* d pi  is negative smidefinite, here i=1,2,3
=> d H / d p1  小于等于0
(recall: H(p1, p2,p3,u) is the Hicksian funciton for good 1 )
为使等式（1）成立， d H /  d p2) 和 (d H /  d p3) 中最少有一个大于0， 即 good 1 (商品 1） 至少有一个替代品。
例如 d H /  d p3>0, 表示商品3 是商品1 的替代品

原来如此。。。前面不是用欧拉定理直接出来了么。。。

非常感谢！！

非常感谢！！

不好意思，证明有错误， 修改如下：
assume n=3
H(p1, p2,p3,u) is the Hicksian funciton for good 1  
H(p1, p2,p3,u) is homogeneous of degrees of zero in prices(这是 Hicksian demand 一个假设)
=>H(a*p1, a*p2, a*p3,u)=(a^0) * H(p1, p2,p3,u)=H(p1, p2,p3,u)
=>H(a*p1, a*p2, a*p3,u)-H(p1, p2,p3,u)=0
两边对a求导
=>p1*(d H / d a*p1)+p2* (d H / d a*p2)+p3*(d H / d a*p3)=0  ----------（2）     
(d H / d a*p1 表示Hicksian demand function 对 a*p1求导)
这里的 H 是 H(a*p1, a*p2, a*p3,u)
已证：H(a*p1, a*p2, a*p3,u)=H(p1, p2,p3,u)
=>d H(a*p1, a*p2, a*p3,u)= d H(p1, p2,p3,u)
将其带入等式（2）中的 d H
we get:  p1*(d H(p1, p2,p3,u)  / d a*p1)+p2* (d H(p1, p2,p3,u)  / d a*p2)+p3*(d H(p1, p2,p3,u) / d a*p3)=0
将上式中的a提出：
p1*(d H(p1, p2,p3,u)  /  a* d p1)+p2* (d H(p1, p2,p3,u)  / a* d p2)+p3*(d H(p1, p2,p3,u) /  a* d p3)=0
两边乘以 a=>p1*(d H / d p1)+p2* (d H /  d p2)+p3*(d H /  d p3)=0     ---------（1）
因为 cost function  is concave (拟凹函数) => d Hi /  d pi  is negative smidefinite, here i=1,2,3
=> d H / d p1  小于等于0
(recall: H(p1, p2,p3,u) is the Hicksian funciton for good 1 )
为使等式（1）成立， d H /  d p2) 和 (d H /  d p3) 中最少有一个大于0， 即 good 1 (商品 1） 至少有一个替代品。
例如 d H /  d p3>0, 表示商品3 是商品1 的替代品

等式（1）中的 H 是 H(p1, p2,p3,u), 即商品1 的Hicksian demand


不客气