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contents

1 Introduction 13

1.1 Rules of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Taxonomy of Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Bibliography for Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 SetTheory 21

2.1 Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Algebraic properties of set operations . . . . . . . . . . 24

2.2 Cartesian Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1 Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Order relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Correspondences and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.1 Restrictions and extensions . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 Composition of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.3 Injections and inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.4 Surjections and bijections . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Finite and InÞnite Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Algebras of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7 Bibliography for Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.8 End of Chapter Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 The Space of Real Numbers 45

3.1 The Field Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 The Order Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 The Completeness Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Open and Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Borel Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6 Bibilography for Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7 End of Chapter Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 MetricSpaces 65

4.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1.1 Convergence of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1 Completion of ametric space. . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.5 Normed Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.5.1 Convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5.2 A Þnite dimensional vector space: Rn . . . . . . . . . . 93

4.5.3 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5.4 An inÞnite dimensional vector space: !p . . . . . . . . . 99

4.6 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6.1 Intermediate value theorem . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.6.2 Extreme value theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.6.3 Uniformcontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.7 Hemicontinuous Correspondences . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.7.1 Theoremof theMaximum . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.8 Fixed Points and ContractionMappings . . . . . . . . . . . . 127

4.8.1 Fixed points of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.8.2 Contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.8.3 Fixed points of correspondences . . . . . . . . . . . . . 132

4.9 Appendix - Proofs in Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.10 Bibilography for Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.11 End of Chapter Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5 Measure Spaces 149

5.1 LebesgueMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.1.1 Outermeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.1.2 L−measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.1.3 Lebesguemeets borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.1.4 L-measurablemappings . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.2 Lebesgue Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.2.1 Riemann integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.2.2 Lebesgue integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.3 GeneralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.3.1 SignedMeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.4 Examples UsingMeasure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.4.1 Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.4.2 L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.5 Appendix - Proofs in Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.6 Bibilography for Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6 Function Spaces 213

6.1 The set of bounded continuous functions . . . . . . . . . . . . 216

6.1.1 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6.1.2 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.1.3 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

6.1.4 Separability of C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.1.5 Fixed point theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.2 Classical Banach spaces: Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.2.1 Additional Topics in Lp(X) . . . . . . . . . . . . . . . 235

6.2.2 Hilbert Spaces (L2(X)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.3 Linear operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

6.4 Linear Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.4.1 Dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.4.2 Second Dual Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

6.5 Separation Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

6.5.1 Existence of equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.6 Optimization of Nonlinear Operators . . . . . . . . . . . . . . 262

6.6.1 Variational methods on inÞnite dimensional vector spaces262

6.6.2 Dynamic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

6.7 Appendix - Proofs for Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

6.8 Bibilography for Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

7 Topological Spaces 299

7.1 Continuous Functions and Homeomorphisms . . . . . . . . . . 302

7.2 Separation Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

7.3 Convergence and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

下来看看

thanks for sharing[em01]

应该给出英文书名

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楼主真是牛啊