40论坛币悬赏一个博弈论题目的完整解答 Farber (1980) 提出的最后仲裁模型

1# icicle01

看上去似乎会收敛到0。

和我最近在看的选择投票模型很像。有兴趣可以参考Grossman and Helpman, RES1996。
(RES=Review of Economics Studies)

继续。首先先同意下10楼的意见，因为这个问题已经是“沙滩开店案例”的翻版，两家血拼的结果是大家都取0，换取最大的胜率。但这样伴随的收益也为0。那么换种角度考虑，一方是不可能取对方的区间的，也就说工会T2必然大于0，管理者必然小于0。所以当总裁者S0>0时，在平衡条件下，工会必然获胜，当S0<0时，管理者获胜。因此，为了获得最大收益，管理者方面只需要考虑仲裁者S0<0，且T1=0的情况，并获取最大收益。
当T2>=2S0(T2>0,S0>0)时，T2必然获胜，且S0在（0,1）上均匀分布，因此，T2<=2.
当T2取某个值时，工会获胜的概率为(1-T/2)，所以收益为
F(T)=(1-T/2)*T
求导得F'(T)=1-T=0
当T=1时，工会的收益可能最大。反之，管理者为-1是，收益可能最大

这个题目的最总答案还是可以联系到沙滩开店的案例，当两店铺分处两处时，收益最大，但如果是一次性的博弈，两者都会选择沙滩中点，两者都吃亏。

管理员准备划钱吧，嘻嘻

1# icicle01
给定对方的开价，在另一方向选择更接近的开价，支付是一个期望支付。对于管理者，其问题是
max    -t_1*Prob{ s_0-t_1<|t_2-s_0| }
即，一方面自己叫价越小越好，小于s_0, 另一方面又要比t_2更加接近。可求得该概率为(t_2-t_1)/4.
于是其反应函数是
t_1=t_2/2
类似地， 也可求得工会的反应函数，联立反应函数均衡点应该在0点。

好像没看懂答案... 一阶条件是撒？ 选中的可能性好像也没证明..俺希望得到2问的具体解答 而不是局部的分析 谢谢楼上几位大虾

15# maweizfx
我计算管理者期望支付有问题，在线编打数学公式老出错，不过思路应该没问题。这就是一个不完全信息静态博弈。管理者的期望支付是：
－t_1 * Prob { | s_0 - t_1 | <| s_0 - t_2 | }
该概率的计算可分为两种情况：t_2 > t_1，即有s_0 < (t_1+t_2)/2； t_2<t_1，则需s_0>(t_1+t_2)/2
概率是：(2+t_1+t_2)/4 或 (2-t_1-t_2)/4
因此其期望支付函数是分段形式，即
E_1= - t_1*(2+t_1+t_2)/4,          t_2>t_1;
          - t_1*(2- t_1- t_2)/4.          t_2<t_1.
在此基础上求得反应函数也是分段形式：
t_1(t_2)*=-1-t_2/2,           t_2>=t_1;
                1+t_2/2,            t_2<=t_1
照例可求出工会的反应函数：
t_2(t_1)*=1+t_1/2,           t_1<=t_2
                -1-t_1/2,           t_1>=t_2

挑刺，15 16楼的计算计算存在重大错误，简单的将绝对值比较计算化解为不等式，根本没有考虑S1<S0（两者都小于0），在两家都不知道S0取值情况下S1<S0的情况完全可能，这也就是的为什么我在计算两者获胜情况是用了平方，所以以上两位计算存在重大错误。
关于15楼的质疑，那么请回忆一下一次博弈与重复博弈两种情况，如是一次博弈，那么题目就是典型的囚徒困境，双方T1=T2=0。如果是重复博弈，那么考虑的情况就是对方极端取值情况下自己的最大收益，双方都这样考虑的结果还是T1=T2，两者达到的nash平衡状态是一样的，只不过平衡点不同，第一次回答中我不考虑是否是重复博弈，只是说明nash平衡点是T1=T2，第二次回答是分情况讨论。

0.0 还没定论啊...

prayer1982 发表于 2009-12-10 11:00
挑刺，15 16楼的计算计算存在重大错误，简单的将绝对值比较计算化解为不等式，根本没有考虑S1

你自己仔细算算看，绝对值取平方是不是分两种情况，包含了你所说的情形。

首先先说17楼的挑刺是不严谨的，取绝对值和平方是一样的效果，在假设一方比另一方大的情况下，绝对值就可以去掉了，去绝对值的计算是没有什么错误的，其次这个问题和重复博弈是没有关系的，引入仲裁者的目的是分析仲裁情况下的双方博弈的结果。不能仅凭囚徒困境的情况来得出一个直觉的结论。关于模型的意义在此不深探讨。

关于16楼的计算，S0服从的是均匀分布于连续区间[-1,1]，概率计算的结果应该是[(t_1+t_2)/2+1]/2
分两种情况是应该的，但我觉得假设一方比另一方大是很自然的，因为两者不相等。
但分两情况并不是说效用函数是分段函数，即使是想把两情况同时考虑那也是两种情况下的期望效用相加，而不是分段函数。再一个效用函数里面是应该用不到t的，哪方获胜，S0就取哪方的值，出现的应该要么S1要么S2。

不过给了我一个提示就是是否要把两种情况相加的可能性，但我还是觉得没有必要。
我的观点是在我给出的计算基本上再算另一种情况，但得出的结果也是一样，也还是一方1。一方-1。因而结论还是一样的