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雷达卡
模型大概思路是这样的。假设我们有N个资产可供选择来构建投资组合。假定我们交易时间为 0 到 T， A_t 为 t 时刻时每个资产的头寸 (N*1的position vector ，如果头寸为0，说明未投资，如果为正说明是多头，负为空头）。交易仅发生在 t 时刻，且交易量（position change）为D_t (此时价格仍然为 t 期的，并未发生变化)，那么交易后的资产组合的头寸就变为 A_t + D_t。然后，A_t+1 为 t+1 时期的资产头寸，等于交易后的资产组合头寸乘以收益率（即asset return），即：
A_t+1 = R_t+1 * (A_t + D_t) (注意，R_t+1是 N*1 的收益率 vector 而非净收益率的 vector，也就是说log(R)才是净收益，可以采用正态分布、t 分布或者其他类似分布来拟合)。
然后，D_t，也就是交易头寸量，是关于 t 时刻头寸 A_t 的一个时变函数（因为不同时刻交易策略可能不同）。假设这个函数为L_t，那么
D_t = L_t (A_t),
此时的函数L， 就是所谓的交易策略，而我们要做的就是在每一个时期去最优化该策略。
现在假设另一个关于 A_t 和 D_t 的时变函数K_t，用来表达交易发生时所需的总成本。同时，时变函数 M_t (A_t, D_t) 表示交易发生时的纯交易费用（比如佣金啦，空头的利息啦，风控成本啦等，这些有的和交易量有关，我们称之为交易费用，比如佣金等；和仓位有关，我们称之为资产组合维持费用，比如空头的利息等。故整体上看和二者都有关），这样，在 t 时刻，我们就会有如下的函数式：
K_t (A_t, D_t) = 1’ * D_t + M_t (A_t, D_t)
其中 1’ * D_t 就是总交易量 （N*1的vector D_t 中所有元素求和），也就是我们在 t 时刻要完成交易所必须的总现金流成本，而 M_t (A_t, D_t) 则是 t 时刻因为交易而产生的额外的交易成本，两者加起来，即为 t 时刻的总成本。
而最优的策略，就是所有时期的 K_t (A_t, D_t) 的总和最小，即 0 到 T 过程中总成本最小。
这里函数的设定可以有很多种，有的是一次关系，比如佣金啦 （交易多少，按比例收对应交易量的佣金），有的是更复杂的关系。与此同时，K_t (A_t, D_t) 必须要满足一定的限制，比如交易后的资产组合总仓位不得低于某个值啦，终期 T 必须清仓啦，也就是仓位为0啦什么的。
在这里，我把问题简化了下，只考虑二次关系的交易成本和非不等式的交易限制（比如终期 T 清仓，仓位=0。但不得低于某个值什么的，或者资产组合的杠杆限制都是不等式，比较复杂，先不考虑）。这样，凸优化是有严格的解的，比较适合讲解。更复杂的尝试可以参见斯坦福的2014年文章：
《Performance Bounds and Suboptimal Policies for Multi-Period Investment》
然后呢，我们需要用Bellman方程做动态规划（dynamic programming），也就是一个递归的函数（假设 t 时刻的value function 为 V_t (A_t)）：
V_t (A_t) = inf {K_t (A_t, D_t) + E [V_t+1 (A_t+1)] }
而V_t+1 (A_t+1) 实际上就等于V_t+1 [R_t+1 * (A_t + D_t) ]。由于 R_t+1 是未知的，所以我们需要用历史数据对其做分布预测，我简化了下，用了2017.07.01 到 2018.06.30 的 asset return 天数据拟合了正态分布。更复杂的可以拟合t 分布，广义误差分布，甚至偏 t 分布，拉普拉斯分布等等。这里不做介绍，大家自行开发。
附件：
1. Sample Code.mat
Code 包含参数设定，二次关系的最优化，外加Monte Carlo Simulation， 以及相应MC的Plots.
2. Sample_Data. mat
样本数据，CRSP里2017年6月30号根据 Fama-French 的 Industry SICCD 分类后的所有 Business Equipment 的股票 (采用PERMNO作为identifier，基本涵盖所有美国市场NYSE、NASDAQ、AMEX上市的常见IT、软件技术公司的股票)，大概500多只的股票的天数据（weekday）。时期是从2017.06.30 到 2018.06.30，主要是为了保证 asset return 是从2017.07.01 到 2018.06.30。CFACPR是用来调整 stock split 的，都考虑在内。
大致结果：
样本里是30天的交易结果，从仓位0 （t=0）到仓位 0 (t=T)， 交易结果，最小总成本为-2.4700, 也就是净赚2.4700 （随着天数增加，该数值呈几何增长）。样本code中的plots部分运行结果如下图（这是100次Monte Carlo后的均值结果，灰色线是每一次MC的结果，每个图代表各变量随时间的变化图）：
原文用的不是历史数据，我在他的基础上进行了历史数据模拟。更多的，原文采用的是凸优化解的近似DP过程，也就是ADP，需要用cvx package, 比较复杂。
欢迎大家讨论。
Sample_Data.zip
(992.1 KB, 需要: 5 个论坛币)
本附件包括：- Sample_Data.mat
Sample_Code.zip
(2.86 KB, 需要: 10 个论坛币)
本附件包括：- Sample_Code.m
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