最小二乘估计量的有效性

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有没有大佬可以告诉我打着问号的部分是怎么推过去的。。。我数学很差。。。

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关键词：最小二乘估计 最小二乘 有效性 估计量 有没有

在进行最小二乘有效性的验证之前你可能忽视了线性无偏。你没有显示图片上这本书对符号的定义，但是我推测这个ki 应该是一个权数，即 $ \hat{\beta} $是以ki为权数的Yi的加权平均，同时推测 \[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \mu_i \] 是simple linear regression model。因为线性的存在，所以\[ \hat{\beta} = \sum {k_i Y_i} \] ,  \[ k_i = \frac{x_i}{\sum {x_i^2}} \] 。ki 可以理解为一个常数，在求条件方差的时候提出来。接着因为$ var(\mu_i | X_i) = E[\mu_i-E(\mu_i) | X_i]^2 = \sigma^2 $ ，所有的就可以推出来了。本质上要证明最小二乘有效性其实就是证明 $ \hat{\beta} $ 的方差最小，这样我们用OLS求出的系数是最佳线性无偏（best linear unbiased estimator，BLUE）的。