怎样理解球的立体角是180度而不是360度

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               怎样理解球的立体角是180度而不是360度

                           于德浩

                         2018.10.10

在学立体几何时，立体角theta的取值范围是从0-Pi，平米方位角phi的取值范围是0-2Pi。这画个圆圈就是360度，很好理解。可是，为什么立体角只画了半个圆呢？这个问题从高中开始，到现在已经似懂非懂20年了，虽然我一直读到理论物理的博士。

首先看一下球坐标系的定义。立体直角坐标系的z轴方向定义 ，是从x轴到y轴的右手螺旋的大拇指方向。右手螺旋，是逆时针旋转方向。“右”的定义，是眼睛的正前方顺时针方向先旋转到的那只手被称为右手。“顺时针方向”，是指钟表的秒针走圈的方向。“秒针”，是指钟表里那根最细最长的、一直在动的那根针。当没有钟表或者钟表被淘汰后，顺时针方向，就是指太阳从东方升起向西方落下转圈的方向。球坐标系的纵轴，也叫z轴，与平面xoy垂直，与立体直角坐标系的方向定义相同。

立体角theta是指球的半径r与纵轴z轴的夹角；平面方位角phi是指在xoy平面，圆半径与x轴的夹角。平面xoy是，x轴到y轴的逆时针旋转平面；圆半径是球半径r在xoy平面的投影，长度大小是r*Sin（theta）。

什么是投影呢？一支铅笔向上倾斜地离开桌面，光垂直照在铅笔上，铅笔在桌面上的影子长度，就叫“空间的铅笔在该平面上的投影”。显然，当铅笔垂直桌面时，就没有影子，投影为0；当铅笔与桌面的角度越小，（与纵轴z轴的夹角越大），影子就越长，投影越大。投影最大就是铅笔自身的长度，此时铅笔平躺在桌面上，与z轴夹角90度，Sin（Pi/2）=1。

平面方位角phi旋转360度回到自身原点，这是一个简单直观的定义。就是说，x轴转90度就垂直了，转这么4个垂直就又回到起点了，这就是4*90=360度=2Pi。

横着的这个圆是phi角，总共360度；竖着的也是个圆，就是theta角，为什么不是360度，而是只有一半呢？

现在，应该这么理解。正是因为我们先定义了平面方位角是360度；所以，后来立体角就不得不是180度了。

我们把球半径r开始从纵轴z轴向右旋转30度（Pi/6）。这时候，上半球的最上面的无数个圆半径从0到r*Sin（Pi/6）小圆面就被覆盖了。因为我们预先定义了360度的phi角，所以是“整个小圆面”，也就是我们看到的立体的“北极圈”。显然，当球半径r从z轴顺时针转向x轴90度时（theta=Pi/2），整个上方北半球就全部画完了。然后，theta再从90度到180度，下半球也就画完了。所以，只需要theta从0到Pi，一整个球体就全部覆盖完毕，这是因为我们的phi角360度定义在先。

我们再看一下球体积的微分公式。我们看一个微观空间立方体，在纵轴z及球半径r构成的平面，我们很显然的看到，微观立方体的“深度”是dr，“高度”是r*d（theta）。而微观立方体的“宽度”我们不能直接得出，但这个宽度与其在xoy平面的投影长度相等。这个投影的长度就是r*Sin（theta）*d（phi），平面圆的弧长。

所以，最后这个微观立方体的体积就是dr*r*d（theta）* r*Sin（theta）*d（phi）。计算宏观的球的体积，就是这个微观立方体的三重积分，取值范围分别是r，0到R；theta，0到Pi ；phi，0到2Pi。于是我们就得到了球的体积公式，（4Pi/3）*R^3。 （###

1/3（R^3-0）*（-1）（-1-1）*（2Pi-0）    ###）

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关键词：直角坐标系 空间立方体 取值范围 直角坐标 理论物理