寻牛人解题！！

请教根据M是martingale就可得出exp（-a(WT-Wt)）=exp(-a^2*（T-t) /2），这是为什么？
8# hongxx

11# warren_619
刚才写错了，一个期望E。
E(MT/Mt | Ft)=E(MT| Ft)/Mt=Mt / Mt=1,
E(MT/Mt | Ft),把MT,Mt的等式代入这个期望里计算，最后可以提出E[  exp(-a*(WT-Wt))  ]=exp((-a)^2 *(T-t) /2)。而正态分布N的特征函数E[exp(aN)]等于exp[a^2*sigma^2/2],。

actually there is another problem, a cannot be any real number, if a = 0, it's trivial, W is not necessarily a Brownian motion

now if a != 0 so the problem is nontrivial, if W is a levy process with triplet (sigma^2, nu, gamma), then M(a,t) is a martingale iff

gamma + (sigma^2 - 1) /2 + \int (e^z - 1 - z 1_(|z| <= 1)) nv(dx) = 0

for Brownian motion, gamma = 0, sigma^2 = 1, nv(dx) = 0, so this is sufficient, but not necessary

太复杂了 看不懂

qingcha0077 发表于 2010-3-2 21:51
太复杂了 看不懂

看不懂滚一边去，不说话没人当你是哑巴

hongxx 发表于 2010-3-2 17:29
11# warren_619
刚才写错了，一个期望E。
E(MT/Mt | Ft)=E(MT| Ft)/Mt=Mt / Mt=1,
E(MT/Mt | Ft),把MT,Mt的等式代入这个期望里计算，最后可以提出E[  exp(-a*(WT-Wt))  ]=exp((-a)^2 *(T-t) /2)。而正态分布N的特征函数E[exp(aN)]等于exp[a^2*sigma^2/2],。

这个只能说明增量是正态分布的，不保证是布朗运动

和谐。。。 15# irvingy

irvingy 发表于 2010-3-2 22:23

hongxx 发表于 2010-3-2 17:29
11# warren_619
刚才写错了，一个期望E。
E(MT/Mt | Ft)=E(MT| Ft)/Mt=Mt / Mt=1,
E(MT/Mt | Ft),把MT,Mt的等式代入这个期望里计算，最后可以提出E[  exp(-a*(WT-Wt))  ]=exp((-a)^2 *(T-t) /2)。而正态分布N的特征函数E[exp(aN)]等于exp[a^2*sigma^2/2],。

这个只能说明增量是正态分布的，不保证是布朗运动

按照布朗运动的定义，W（0）=0，W(t)连续，增量两两独立且服从正态分布，并且E(Wti- Wt(i-1) )=0,VAR(Wti- Wt(i-1))=ti-t(i-1),那它就是布朗运动。

hongxx 发表于 2010-3-3 09:44
按照布朗运动的定义，W（0）=0，W(t)连续，增量两两独立且服从正态分布，并且E(Wti- Wt(i-1) )=0,VAR(Wti- Wt(i-1))=ti-t(i-1),那它就是布朗运动。

我的意思就是没有证明连续，我选一个levy process，gamma, sigma, nv三个可以自己选，约束条件只有一个，W不一定是brownian motion，M一样可以是martingale

我也发现这题有点问题，要去问下PROF了 19# irvingy