从要素密集度逆转说开去

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说明国际贸易中各国的比较优势的因素的理论中，有一个赫克歇尔—俄林理论，解释了比较优势的部分因素。
大致是这样的：一国相对其他国家在某种要素比如资本上是相对富裕的，那么，该国在制造资本密集型产品就有比较优势，而其他要素如劳动密集型产品则处于比较劣势。要素的富裕程度用要素丰饶度指标衡量，一种产品使用某种要素的密集程度用要素密集度衡量。用标准术语说，赫克歇尔和俄林理论，就可以描述为：一个国家某种要素的丰饶度高，则该国在生产该要素密集型产品上有比较优势，应生产并出口该要素密集型产品，换回其他要素密集型产品。
经济学中有个不成文的习惯，当一种理论出现后，需要进行检验。从俄国移民美国的列昂惕夫，根据自己的投入产出分析方法，对赫克歇尔和俄林的理论进行了检验，提出了一个令当时人们惊讶的悖论：美国是资本富裕的国家，按赫—俄理论，应当出口资本密集型产品，换回劳动密集型产品，但是，数据检验的结论不支持理论，也就是说，美国不但不出口资本密集型产品，反而还进口它。
对于列昂惕夫悖论，许多学者进行调和或解释。其中之一，就是“要素密集度逆转”的解释。
有人说，在美国是资本密集型的产品，换做在资本相对不丰裕的国家比如非洲国家生产时，就不再是资本密集型的而是劳动密集型的。例如，美国农产品就是在大农场的背景下的资本密集型产品，而在非洲国家，农产品就不再是资本密集型的，而是投入更多人力的劳动密集型产品。
这个解释，猛一听还是蛮有道理的，如果普遍成立，那么就可以调和赫克歇尔俄林同列昂惕夫的矛盾。
可是，但是，可但是，要素密集度逆转是普遍现象么？
有“好事之徒”对要素密集度逆转理论进行检验，发现，全部产品中出现要素密集度逆转的产品，只占不足1%。
于是，这个调和或解释，就是不成立的。

回顾这段经济学发展史的意思，不是简单地满足好奇心，而是要说明一个非常现实的问题。
当我质疑汉密尔顿和萨斯洛时，有人提出了一个答辩或解释。简单地说一下。
汉密尔顿和萨斯洛说：消费者消费衣服和食品两种东西时，假如边际替代率递增，也就是无差异曲线凹向原点，消费者总是选择角点解并以其为最优。
我提出的质疑说，边际替代率递增或无差异曲线凹向原点，消费者不但不遵从多多益善的假设，反而遵从越少越好的假设，因此，汉密尔顿和萨斯洛说消费者一直以角点解为最优的观点或法则，就是错误的。
有人提出了一个例子：豆腐和菠菜。以此证明汉密尔顿和萨斯洛时对的。
历史出现了惊人的相似。
如果菠菜豆腐的例子是普遍成立的，也就是说，任意一对商品组合消费时都成为坏品，而单独消费时都是好品，汉密尔顿和萨斯洛就是对的。那么我们要问，就像人们问要素密集度逆转的情形是普遍的吗一样，菠菜豆腐的例子是普遍的吗？
按照谁抗辩谁举证的原则，提出该例子的人要举证，证明他举的例子是普遍的还是非普遍的特殊例子。
而在他举证之前，我们通过常识和逻辑，就可以判定，他的例子不具有普遍性，因而辩护无效。
这就是我们了解经济学发展史的一个好处，正确地思考问题，避免以偏概全的错误（当然，思考是好的，哪怕是不完整的思考。只是当我们指出其以偏概全时，人们的思维就应当上一个台阶，而不是坚持片面）

回到发展史来看，列昂惕夫反论解决了吗？
解决了。
赫克歇尔和俄林在提出他们的理论时，对要素种类做了简化，只考虑两种要素：资本和劳动。
列昂惕夫悖论检验的是有很多种要素而不局限于两种要素的现实世界，所以，出现“悖论”就难免了。
现在说起来很轻松，但在当时是一场不大不小的学术风波。
以舒尔茨和贝克尔为代表的劳动经济学家，提出了人力资本概念，从而指出了一项有别于物质资本和简单劳动力的一种“新型”要素。其他人则运用新概念，将之引入赫克歇尔俄林模型，从而证明了列昂惕夫悖论并不是真正的悖论，要素禀赋理论和列昂惕夫的检验，都不错，只是看问题的角度不同罢了。
之后，各种新要素理论开始滥觞，极大地拓展了人们的眼界，经济学继续朝前痛并快乐着。

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关键词：投入产出分析 资本密集型 劳动密集型 无差异曲线 经济学发展

比如学界抛弃边际效用递减律，就是以偏概全的思维错误在作祟，也正是这种片面的思维指导下，汉密尔顿和萨斯洛出现推理错误。因为他们的推理要建立在不正确的边际效用递增律之上。

不要以为经济学里有很多假设，就可以随便按照自己的意愿进行假设，因为，当假设超过两个时，自相矛盾出现的几率是很大的。
汉密尔顿和萨斯洛等数学家，以为可以随意假设，这是数学家的习惯，不应该成为经济学家的习惯。
无差异曲线的边际替代率递增假设就与消费者尽可能多地消费的假设相矛盾，而推导出这种矛盾的前提就是边际效用递增律。
没想到吧，你抛弃正确的，错误的就回来反咬你一口。

三段论要学习得滚瓜烂熟，而不是等而下之的数学逻辑。
大前提和小前提自相矛盾，结论不可能有，硬要给结论，就总是错的。
大前提和小前提相关或互相参照、影响时，就可能出现假设上的自相矛盾。

撇开其他因素不谈，对美国次贷危机的一个推波助澜的因素就是由自称为经济学家的数学家建立了一个对次贷进行包装的模型，结论是次贷经包装后可以变成优质贷款。这里的问题一定是出在某个假设上或几个假设上。
美国财长鲍尔森对危机的发生百思不得其解，这不算得真真的，怎么就错了？很多数学家都持有这种想法。
其实，那几个获奖的数学家应当把诺贝尔奖金吐出来。从一开始就错了，次贷就是次贷，它变不成优质贷款。

无差异曲线是表示两种商品不同数量组合效用一定的曲线。
无差异曲线的通用方程是：U=Ux+Uy=C
U两种不同商品总效用，Ux商品1总效用，Ux商品2总效用，C常数。
对效用方程微分可得：
dUx/dX+dUy/dY=0
或写为：
dY/dX=-dUx/dUy
X商品1消费量，Y商品2消费量。
情况1：
假设dY/dX为一负定值K，
无差异曲线是Y=KX+A，图像是右斜向下的斜线簇。
由于-dUx/dUy为负值，必有dUx与dUy均为正值或均为负值，这意义是两种商品必须是同时为好品或同时为坏品。
这就是所谓完全替代的无差异曲线方程。
情况2：
假设dY/dX为一正定值K，
无差异曲线是Y=KX+A，图像是右斜向上的斜线簇。
由于-dUx/dUy为正值，必有dUx、dUy一正一负，这意义是两种商品一种是好品一种是坏品。
这就是所谓的一种是好品一种是坏品的无差异曲线方程。
情况3：
假设dUx/dX=0，dUy/dY=0。
无差异曲线方程式是：X=A，Y=B。A/B为常量。
方程曲线是L型线簇。
这就是所谓的完全互补品无差异曲线。
情况4：
假设Ux=C，Uy=0
无差异曲线是X=A
方程曲线是垂直于X轴的直线簇。
这就是所谓的中性商品无差异曲线。
情况5：
假设是有餍足量的商品组合，商品1餍足量为A，商品2餍足量为B。假设在餍足量内边际效用直线递减。假设餍足量外效用直线递减，在A+a或B+b处效用为0。
在餍足量之前有：
Ux=X(2A-X)/A2（2是幂）
Uy=Y(2B-B)/B2（2是幂）
在餍足量之后有：
Ux=-(X-A-a)/a
Uy=-(Y-B-b)/b
在餍足量之前，无差异曲线方程是：
（X-A）2(2是幂）/(2-C）A2(2是幂）+（Y-B）2(2是幂）/(2-C）B2（2是幂）=1
这是椭圆方程。图像是椭圆簇，在（0，0）、（A，0）、（A，B）、（0，B）这个矩形范围内。图像最大的是1/4椭圆。
在餍足量之后，总效用方程是：
X/a+Y/b=A/a+B/b+2-C
这是直线方程。
C为常量。
注：餍足量后的无差异曲线方程属于笔者在一定条件下推出，一般资料介绍的餍足量之外的无差异曲线图像也是椭圆，这与实际情况不符。
有餍足量的商品比较常见，它的无差异曲线有效部分应为矩形范围内部分，超过餍足量的消费为不理性消费，效用很快会递减到0出现负效用。
情况6：
两种好品凹偏好无差异曲线方程（猜想）
X2（2是幂）/A2（2是幂）+Y2（2是幂）/B2（2是幂）=1
是椭圆方程，A、B可以变化，图像是1/4椭圆簇。
情况7：
两种坏品凸偏好无差异曲线方程（猜想）
X2（2是幂）/A2（2是幂）+Y2（2是幂）/B2（2是幂）=1
是椭圆方程A、B可以变化，图像是1/4椭圆簇。
情况6与情况7无差异曲线方程相同但意义不同。情况6数量越多效用越大，情况7数量越少效用越大。两种无差异曲线方程属于猜想。
一般教科书仅仅介绍无差异曲线，本文给出几种无差异曲线方程，并指出其来源。有关教科书中直接给出无差异曲线方程的，本文不再介绍。
例如：
U=XY
U=X+Y
U=AXα(α是幂）Yβ(β是幂）（柯布—道格拉斯cobb-Douglas无差异曲线方程或效用函数）

情况6：
两种好品凹偏好无差异曲线方程（猜想）
X2（2是幂）/A2（2是幂）+Y2（2是幂）/B2（2是幂）=1
是椭圆方程，A、B可以变化，图像是1/4椭圆簇。
情况7：
两种坏品凸偏好无差异曲线方程（猜想）
X2（2是幂）/A2（2是幂）+Y2（2是幂）/B2（2是幂）=1
是椭圆方程A、B可以变化，图像是1/4椭圆簇。
情况6与情况7无差异曲线方程相同但意义不同。情况6数量越多效用越大，情况7数量越少效用越大。两种无差异曲线方程属于猜想。
+++++++++++++++++++++=
可以有两种好品的凹偏好无差异曲线。方程虽然是猜想，但似乎是对的。

罗鹏 发表于 2019-7-30 17:15
不要以为经济学里有很多假设，就可以随便按照自己的意愿进行假设，因为，当假设超过两个时，自相矛盾出现的 ...

我看不懂的地方是：为何边际替代率递增和消费多多益善这两个前提是相互矛盾？也看不出这跟边际效用递减有何关系？难道边际替代率递增就一定表示两种商品就是坏品？逻辑是...？这个你也没讲清楚。再者，
反过来问：边际效用递增难道就会使边际替代率递增？我也看不出来，愿闻其详。

yenfeng1 发表于 2019-8-1 10:55
我看不懂的地方是：为何边际替代率递增和消费多多益善这两个前提是相互矛盾？也看不出这跟边际效用递减有 ...

看不出来说明你没弄清这里的数学关系。
凸偏好的两个表现是，一，边际替代率递减；二，效用函数严格准凹。这样，凸偏好是多多益善的充分必要条件。也就是说，只要各条无差异曲线是凸向原点的，那么，越高的无差异曲线效用越大。
而凹偏好的两个表现是，一，边际替代率递增；二，效用函数严格准凸。这样，凹偏好是越少越好的充分必要条件。也就是说，只要各条无差异曲线凹向原点，那么，越高的无差异曲线效用越小。

你的凸偏好的定义好像跟我的认知不一样。我所知道的凸偏好是平均比极端好，从几何图形来看，就是弱性偏好集合(weaklypreferred set)是凸集合。这样看来，除非多多益善是外加上去的假设，不然我看不出凸偏好和强调多多益善的偏好单调性(monotonicity)有甚么关系。假如仅单纯看凸偏好的定义，表现在无差异曲线上，就是随意选取无差异曲线上两点，画一条直线连接此两点，这条线完全落在弱性偏好集合里，称为凸偏好。相反的，这条线完全不在弱性偏好集合里，就是凹偏好。我就以无差异曲线图验证几个偏好是否为凸偏好。
(1) 有餍足点的偏好是否为凸偏好


在上图，有三圈无差异线，我们随意找最靠近餍足点的无差异线，找出他的弱性偏好集合，涂成黄色，此集合为凸集合，表示此偏好是凸偏好。
(2) 假定两种坏品的偏好，他的无差异曲线呈现边际替代率递增，是否为凸偏好？




在上图，找出无差异曲线的弱性偏好集合，涂成黄色，随意在无异曲线上选两点A、B，两点联线完全落于弱性偏好集合，所以这个偏好为凸偏好。

接下来，我提出我的疑惑

1、边际效用递增和凹偏好或边际替代率递增的关系？令U为效用、x 为 x 商品消费量、y为 y 商品消费量，
C-D效用函数：


两种商品的边际效用为正，符合多多益善特性，x 商品符合边际效用递增，但是此函数具有边际替代率递减特性。这样的关系似乎不是如你所讲的。
2、边际替代率递增与多多益善是相互矛盾？
效用函数形式为


两种商品的边际效用为正，符合多多益善特性；函数具有边际替代率递增特性，边际替代率递增与多多益善可以同时存在，没有冲突。他只是非一般使用的well-behaveed preferences。
3、两个坏品的偏好一定是凹偏好？
我前面已经提了，边际替代率递增的两个坏品无差异曲线所表示的偏好是凸偏好，不是凹偏好；相对的，边际替代率递减的两个坏品无差异曲线所表示的偏好是凹偏好。