楼主: tom_lv1
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[股票] 单利和复利,数学计算和物理方法 [分享]

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tom_lv1 发表于 2019-10-17 16:32:41 |显示全部楼层

               单利和复利,数学计算和物理方法

                           于德浩

                         2019.10.17

货币是有时间价值的,这源于人们在经济活动中的权衡。比方说,你是现在得到100元,还是一年后得到102元呢? 这对于去银行存款,想获取年利息2%的人来说是一样的。

这里就引出货币的终值计算公式,100*(1+r)=102。从相反的方向考虑就是货币的现值公式,100=102/(1+r)。就是说,你现在拥有100元,与一年后拥有102元是一样的,与两年后拥有104.04元也是一样的。这里的年利息率2%,就是投资收益率,默认的复利。

为了口算方便,人们一般会把复利近似为单利。比方说,100元存银行,年利息2%,两年后的本金和利息大约是100+2*2%=104元,略去0.04元的精算。当利息率很低、期限不长时,单利与复利是差别很小的。比方说,银行存款2%年利率,存20年,单利计算是最后140%,复利的精算是149%,差不多。

但是,当投资收益率很高时,复利就会远多于单利。比方说年20%,十年后的复利是619%,而单利是300%;二十年的复利是3800%,单利仅是500%。复利的物理意义(经济学意义)是利润再投资。 如果一张债券面值100元,票面利率是年20%,如果是二十年后一次付清,那么就是到期本息支付总共3800元。

如果投资人不会指数计算,那么他就要求债券每年付息20元。假设投资人初始本金是10000元,买100张债券;第一年就会收到2000元利息;利息再投资,这时就是总共120张债券;第二年,就会收到利息120*20=2400元,利息再投资,就是总共144张债券。

如果投资人在收到每年的利息时,没有再投入,那么这就是单利行为。最后,投资人还是持有100张债券,价值10000元,二十年利息总计是2000*20=40000元,最后本息合计是50000元。这比利息再投资的复利行为的最终380000元,要少很多。

复利的终值计算是指数形式,在没有计算机的时代,硬算是很复杂的。比方说,1.1^10=? 我们可以进行数学近似计算。(1+r)^n的泰勒展开式是1+r*n+r^2*n(n-1)/2+r^3* n(n-1)(n-2)/6+…… 如果我们取二阶近似,口算就可以了,1+0.1*10+0.01*10*9/2=2.45,这与科学计算器硬算的2.59相差就很小了。

关键是看泰勒近似展开式的每一项的物理意义。第一项“1”,我们称为零阶近似,就是指本金;第二项“0.1*10”,我们称为一阶近似,这是指单利,仅是本金产生的利息;第三项“0.45”就是二阶近似,这里体现的就是复利与单利的差别。省略号就是指后面的高阶无穷小,可忽略不计。对于债权人来讲,他可以粗略的说,“你首先得还我本金,然后是本金产生的利息,最后是每年利息产生的利息(利滚利)。”

数学计算是通用工具,而物理方法往往针对具体问题。比方说,计算下面等式x/(1+x)+x/(1+x)^2+x/(1+x)^3+x/(1+x)^4+x/(1+x)^5+1/(1+x)^5。如果是从前往后硬算的话,要用到等比数列的求和公式,这还是挺复杂的。当然,这里有一个数学小技巧,从后往前,每两项一次通分,发现恰巧这个式子的最后结果是“1”。

如果赋予这算式一个物理意义(经济学意义),这个恰巧为“1”就非常好理解了。债券价格(价值)实际就是未来现金流的贴现。一个现金流贴现恒等式,

100=100*r/(1+r)+100*r/(1+r)^2+100*r/(1+r)^3+…+100*r/(1+r)^n+100/(1+r)^n。

这是说,债券现值100元就等于未来的各期利息及最后兑付本金的现金流折现之和。

应用一下,那个数学算式再复杂,最后结果必然是“恰巧为1”,这就是用物理的方法来解数学问题。



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宽客老丁 发表于 2019-10-17 21:56:30 |显示全部楼层
As long as you can still grab a breath, you fight.
只要一息尚存,请继续战斗。

谢谢分享
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peterpang 发表于 2019-10-18 08:00:54 |显示全部楼层
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Steve090 发表于 2019-10-18 08:57:02 来自手机 |显示全部楼层
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三重虫 发表于 2019-10-18 11:25:33 |显示全部楼层
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wgsvagrant 在职认证  发表于 2019-10-18 12:04:51 |显示全部楼层

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weee12 发表于 2019-10-18 12:56:59 |显示全部楼层
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游码 在职认证  企业认证  发表于 2019-10-18 13:02:23 |显示全部楼层
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ypc91917 发表于 2019-10-18 13:55:01 |显示全部楼层
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SHFISH 发表于 2019-10-18 21:37:29 |显示全部楼层
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