等额本息公式的推导和演算

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                等额本息公式的推导和演算

                         于德浩

                       2019.10.23

一个现实的问题，如果贷款A=100万买房，年利息率（复利）是r=7%，n=5年还清。如果每年还款一样多（等额本息），那么每年的还款额是多少？

先用笨法子，依次来理一理思路。首先，一开始，第0年，欠款100万元。到第一年末，还款M，那么就剩余100(1+r)-M的欠款。到第二年末，还款M，就剩余(100(1+r)-M)(1+r)-M=100(1+r)^2-M(1+r)-M。到第三年末，还款M，就剩余(100(1+r)^2-M(1+r)-M)(1+r)-M=100(1+r)^3-M(1+r)^2-M(1+r)-M。到第四年末，还款M，就剩余100(1+r)^4-M(1+r)^3-M(1+r)^2-M(1+r)-M。到第五年末，还款M，就剩余100(1+r)^5-M(1+r)^4-M(1+r)^3-M(1+r)^2-M(1+r)-M。显然，第五年末的剩余欠款是0，于是我们就列出方程式100(1+r)^5-M(1+r)^4-M(1+r)^3-M(1+r)^2-M(1+r)-M=0。

求解M，这里要用到等比数列的求和公式q+q^2+q^3+…q^n=(q-q^(n+1))/(1-q)。

最后，可以解出等额本息的M=A*r/(1-(1+r)^(-n))。

对于上面的具体案例，M=1000000*7%/(1-1.07^-5)=243890.69元/年。

我们也可以根据货币的现值公式来列方程，

100=M/(1+r)+M/(1+r)^2+M/(1+r)^3+M/(1+r)^4+M/(1+r)^5。

也可以根据货币的终值来列方程，

100*(1+r)^5=M(1+r)^4+M(1+r)^3+M(1+r)^2+M(1+r)+M。

虽然，上面3个方程式的物理意义不同，但最后的数学计算都是一样的。

民间借贷利率的不同说法。银行的房贷利率是标准的数学复利计算，对应真实的利息实际给付。但是，这种计算方法很复杂，要用到房贷计算器，不太直观。另外一种更简单的理解方式是“先息后本”。比方说，借款100万，年利率7%，期限3年。第一年归还利息7万，第二年归还利息7万，第三年归还利息7万和本金100万。这里的利息也是年化复利的意义。

民间借贷常用到“月息几厘或月息1分几厘”。比方说，月息1分，就是每月利息是1%。就是说，借款100万元，每月还1万元的利息，第12个月到期还1万的利息和100万的本金。这里的月息1%是复利的概念，相当于复利年利息率12.68%。

很多民间借贷形式是简单直接的。比方说，借你100，年利息20%；我先扣20利息，给你80，一年后到期你还我100。这里的“20%利息率”实际对应20/80=25%的真实利率。如果是期限2年，先扣40的利息，给你60到期还100，这明面上的“20%”实际就对应年化利率(100/60)^(1/2)-1=29.10%，这是很高的年利息了。

小额贷款公司一般是采取全额计息的说法。比方说，贷款100万，月息1分，总共本息是112万元；你每月等额还款112/12=9.33万元。 很显然，这里的“月息1分”要大大高于年化利息率12%。我们可以具体算一下。

根据上面的等额本息复利公式，M=A*r/(1-(1+r)^(-n))。 将M=9.33，A=100，n=12，代入可解得r=0.018，这是月息1.8%，合复利的年利率24%。这个r的解是个合理试探近似解，直接是无法求解的。

如果是真实的月息1分（1%），贷款100万元，每月的等额本息还款应该是M=100*0.01/(1-1.01^-12)=8.88万元，要比全额计息的9.33万元少0.5万元。

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