[求助]一道合谋的题

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市场中有两家企业，市场需求曲线是P=500-2Q，两家企业的边际成本分别为30和20，问两家企业如果合谋的话，市场价格和两家企业的产量分别为多少？

这两家企业的边际成本固定而且不同，怎么能够合谋呢？合谋不是要求两家企业在相应的产量下的边际成本和总边际收益相等的么？请求达人指教

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关键词：边际成本 需求曲线 边际收益 市场价格 市场需求 求助 合谋

难道全部让低成本的企业生产？

我想了想，觉得应该以高的边际成本生产，大家觉得对么。

本题试解如下：

解：（1）假设两个厂商合谋生产产品，那么共同面临的需求曲线为P=500-2Q。

于是，有利润函数为：L（Q）＝PQ-C＝（500-2Q）Q-C（Q）

求关于Q的一阶导数，有：dL(Q)/dQ = 500-4Q-MC（Q）=0

由于乙厂商的生产边际成本为20，而甲厂商的生产边际成本为30，那么必然会选择乙厂商的边际成本，即MC=20。

那么可以求得：Q=120，此时合谋的利润最大。

且L=（500-2×120）×120-120×20=28800。

（2）假设两厂商不合谋，而是相互竞争而达到古诺均衡，那么有：

厂商甲的利润函数L（Q_A,Q_B）=PQ_A-C_A= ［500-2（Q_A+Q_B）］×Q_A-30Q_A

其一阶导数条件为：∂ L(Q_A)/ ∂Q_A=500-4Q_A -2Q_B-30=0。

厂商乙的利润函数L（Q_A,Q_B）=PQ_B-C_B= ［500-2（Q_A+Q_B）］×Q_B-20Q_B

其一阶导数条件为：∂ L(Q_B)/ ∂Q_B=500-4Q_B -2Q_A-20=0

于是可以求出：Q_A=230/3；Q_B=245/3。总产量Q=475/3；价格P=550/3。

L_A =PQ_A -30Q_A = Q_A（P-30）=230/3×460/3 =105800/9 ≈11756

L_B =PQ_B -30Q_B = Q_B（P-20）=245/3×490/3 =120050/9 ≈13339

总利润L₂ = L_A+ L_B =25095＜L₁=28800

因此，两厂商可以合谋生产，即产品完全由乙厂商垄断，而甲厂商停产，通过这种方式产生的多余的利润在两厂商之间分配。

当然，可以由乙厂商直接给予甲厂商11756利润，然后剩余的利润归于乙厂商。不过这要取决于两厂商之间的谈判能力。

我的算法和大中华不太一样

双寡模型中的合谋均衡是两厂商总利润最大。

L(Q1,Q2)=PQ1-C1+PQ2-C2=[500-2(Q1+Q2)]Q1-30Q1+[500-2(Q1+Q2)]Q2-20Q2

dL/dQ1=-4Q1-4Q2+470=0

dL/dQ2=-4Q1-4Q2+480=0............无解。

由此之在Q1-Q2产量空间上必取边交解。

改写总利润函数

L(Q,Q1)=PQ-C1-C2=PQ-30Q1-20(Q-Q1)=480Q-2Q^2-10Q

dL/dQ=480-4Q=0,Q=120

dL/dQ1=-10=0无解，但总利润与Q1反方向变化，故取Q1=0，Q2=120此边角解时总利润最大。

所幸结果与大中华相同，合谋的实现和利润的分配也决定于两厂商之间的谈判能力

以下是引用破蛹成蝶在2006-3-16 21:23:00的发言：

我的算法和大中华不太一样

双寡模型中的合谋均衡是两厂商总利润最大。

L(Q1,Q2)=PQ1-C1+PQ2-C2=[500-2(Q1+Q2)]Q1-30Q1+[500-2(Q1+Q2)]Q2-20Q2

dL/dQ1=-4Q1-4Q2+470=0

dL/dQ2=-4Q1-4Q2+480=0............无解。

由此之在Q1-Q2产量空间上必取边交解。

改写总利润函数

L(Q,Q1)=PQ-C1-C2=PQ-30Q1-20(Q-Q1)=480Q-2Q^2-10Q

dL/dQ=480-4Q=0,Q=120

dL/dQ1=-10=0无解，但总利润与Q1反方向变化，故取Q1=0，Q2=120此边角解时总利润最大。

　　你的这种解法不是合谋，而是一个企业的两个分厂，然后将拉格朗日方程应用在两个分

厂的生产利润函数中。在每个分厂生产过程中，要考虑对方的生产产量，这样和古诺均衡差

别不大。

　　合谋生产，就意味着垄断生产，即两家合起来，看成一个产出量，对于整个市场进行垄

断，而不是看成两个产出量，分别考虑问题。

　　至于无解，是因为，你把两个一阶条件合成到了一个式子中，得不出Q1和Q2之间的关

系，不信，你可以把古诺均衡条件两个一阶条件加在一起，看是不是你的这个一阶条件。

　　当然，合谋的条件在博弈论条件下，是不成立的，因为完全信息静态博弈表明的“囚徒困境”问题，说明这个结果不是纳什均衡。

原来是这样，谢谢各位指点，呵呵

upupupupupupupupup

这个合谋不太可能，除非生产的产品有差别。不然成本高的一定会破产。