请教一道拍卖的题目！

两个bidders对同一物品有各自的定价，彼此不知道对方的定价。
两个bidders同时出价，并且只有一次。物品的最后的定价为beta×（winner’s price）+(1-beta)×（loser’s price）.
求定价的纳什均衡？

说明：
1．只见过题目一次。对拍卖理论不了解。不过题目应该没有记错，上面给出的是问题的第一问，其他几问记不太清楚了。好像有一问是有关收益随beta的变化关系。
2.很急，有提供有用线索者，至少30论坛币赠送，解出题目者至少200论坛币赠送。有可能是某本书的例题，或者课后题。
3.或者告知这个问题属于拍卖理论的那一块？有什么指导书嘛？

不知道这道题的出处，但解法倒也不难。假设x是一个bidder的定价，pi(x)是出价方程，f(x)和F(x)分别是density和cumulative probability functions of bidder valuation。那么解为
pi(x)=[int{x*f(x)/beta/F(x)*e^(int(f(x)/beta/F(x)*dx)*dx]/[e^(int(f(x)/beta/F(x)*dx)]

这道题还比较有意思。收益是不会随beta变化的，对于standard auction来说，所有auction format收益都相同。

要想了解解题方法，可见Vijay Krishna的auction theory一书，读第13到17页足矣。