[求助]万岁大中华向版主及各位大侠求助：微观经济学综合题

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题目是这样的，我做了三天，没做出来。希望大家帮个忙。

一种新产品由一个完全竞争的行业生产，行业由100个厂商组成，每个厂商雇佣25个工人，行业处于长期均衡。每个厂商的生产函数为x=-0.1F³+10F²+50F,其中F=(KL)^1/2,x是每个厂商每周生产的新产品的数量，L是雇用工人数，K是每周使用了多少单位的资本。市场需求为Q=2.25-0.5p,其中Q为每周需求量，单位为百万个新产品；p是每个新产品的价格，单位为元。

1）每周工资率是多少？

2）每单位资本的价格多少？

我用下面的方法做了一下儿，不过太麻烦了，还解不出来。

本题试解如下：

解：设每周的工资率为ω；每单位资本的价格为r；那么，可以根据生产函数求得各个厂商j的长期成本函数：

min Cj（r,ω,Q）=ω×L+r×K

s.t. Q = f（L, K） = -0.1F³+10F²+50F　（其中F=(KL)^1/2）

建立拉格朗日函数，令λ为拉氏乘子，则有

N（L, K,λ）=ω×L+r×K +λ( Q - f（L,K）)

∂N / ∂L=ω-λ∂ f（L,K）/ ∂L=0 （1）

∂N / ∂K=r -λ∂ f（L,K）/ ∂K=0 （2）

∂N / ∂λ= Q - f（L,K）= 0 （3）

由（1）式和（2）式可得：[∂ f（L,K）/ ∂L]/[∂ f（L,K）/ ∂K]= ω/r，即MP_L/MP_K=ω/r。

由F= F=（KL）^1/2，可得，∂F/∂L=0.5F/L；∂F/∂K=0.5F/K。那么：

MP_L = （∂Q/∂F）×（∂F/∂L）=0.5F（∂Q/∂F）/L　　（4）

MP_K = （∂Q/∂F）×（∂F/∂K）=0.5F（∂Q/∂F）/K　 （5）

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关键词：微观经济学 经济学综合 微观经济 各位大侠 经济学 求助 版主 微观经济学 大侠 大中华

我只给出过程，不知道对否。

（1）均衡时产量等于需求量：

100*（-0.1F³+10F²+50F）=1000000*（2.25-0.5p），其中F=(KL)^1/2,L=25 ，这样就可以得到一个方程：F₁（K；P）=0

（2）均衡时要素的边际成本等于要素的边际价值产品：

由r=MP_K*MR得到第二个方程：F₂（r；K；P）=0，因为P与Q（：Q=2.25-0.5p）对应可以相互转换的

由ω=MP_L*MR得到第三个方程：F₃（ω；P）=0

MP_{K 、}MP_L 可由厂商的生产函数为x=-0.1F³+10F²+50F得到。

（3）利润为0：

ω×L+r×K =P*x，得到第四个方程：F₄（ω；r；K；P）=0

四个方程四个未知数求解行不？

有没有简便一点的方法？

我想问个问题，就是包络定理是什么？在这里可以有帮助吗？比如求成本函数的过程中，能不能使用Q先对F求导，得出Q最大时的F的值，然后锁定F，用F对于L，和K求偏导，以使F一定时，rK+wL最小？那么这样是否可行，即求出来以后，是不是关于Q的成本曲线？

第二个问题是：我们通常遇到这样的综合题目，是先求出成本函数，比如Q的表达式如果是关于L，和K的函数，而这个函数比较简单。那么现在的问题是，这个函数显然特别复杂，即成本不是Q的显函数，而是一个关于Q的隐函数。那么怎么办？

同时，有一个重要的条件，就是LAC在最低点，这是对于完全竞争厂商长期均衡的条件，在这里为什么没用上？难道真的用不上？我有点奇怪。

求Q的最大值有什么意义吗？至于第而个问题可用隐含数求导的规则进行。其实你上面得出的结果MP_L/MP_K=ω/r没有必要的，因为这个是均衡时的条件的。

LAC在最低点用上了啊，在（2）、（3）中都用上了。

一个是工资率等于边际产品价格（这里的MR=P，直线型）

一个是利润为0

一个是工资率等于边际产品价格（这里的MR=P，直线型）。

它能保证利润为零，但不能保证LAC在最低点呀？

w=MPL*P,r=MPK*K,于是，rK+wL=MPL*P*L+MPK*P*K=P(MPL*L+MPK*K)=PQ=C

但是，这是否可以保证，此时是LAC的最低点？如何证明？

我又思考了一天，想了一个奇异的方法，不知道对不对。

本题试解如下：

解：在完全竞争市场，长期均衡的条件下，各个厂商的平均生产成本应当达到最低点，即平均生产成本最小。

①、假设单个厂商的产出Qs_j为定值，那么显然F的值越小越好：因为F＝(KL)^1/2，它直接关系到了成本问题；如果Qs_j一定，而F的值达到了最小，我们进一步地取F为定值时的成本最小化的条件，那么就意味着Q一定的情况下，Q的平均成本达到了最小。（即F值的变化方向与总成本变化方向是一致的）

Q/F= -0.1F²+10F+50

两边取对F的导数，并令其等于零，有：d( Q/F)/dF=-0.2F+10=0，F=5。

而此时，[Q/F]对于F的二阶导数为-0.2，因此F=5时，[Q/F]达到最大。

若F＝5＝(KL)^1/2，那么由L=25，可以得出K=1。

此时的单个厂商的产出为：Q_Sj=-0.1F³+10F²+50F=487.5

那么100个厂商的总产出为Qs=487.5×100=48750

而总需求函数为：Qd=1000000（2.25-0.5P）＝48750，于是P=4.4025。

②、在完全竞争条件下，生产要素定价公式ω=MP_L×P，r=MP_K×P。对于各个厂商来说：

MP_L=（dQ/dF）×（∂F/ ∂L）=[-0.3F²+20F+50]×0.5×5/25=14.25

MP_K=（dQ/dF）×（∂F/ ∂K）=[-0.3F²+20F+50]×0.5×5/1=356.25

于是工人每周的工资率为ω=MP_L×P=14.25×4.4025=62.735625

每单位资本的价格为：r= MP_K×P=356.25×4.4025=1568.390625

解：在完全竞争的条件下，长期均衡时，平均生产成本将达到最小。设每单位资本的价格为r，每周工资率为w。

由生产函数Q_Sj=-0.1F³+10F²+50F，及F=(KL)^1/2，求其成本最小化min C=rK+wL。

设拉格朗日函数为N（L,K,λ）=（rK+wL）+λ（Q_S-0.1F³+10F²+50F）

则由其一阶条件有：∂N/∂L=w-λ（dQ/dF）×∂F/∂L=0

∂N/∂K=r-λ（dQ/dF）×∂F/∂K=0；∂N/∂λ= Q_S-0.1F³+10F²+50F=0。

而∂F/∂L=0.5F/L；∂F/∂K=0.5F/K，于是有w×L＝r×K；而由C=w×L+ r×K可得：

w×L=r×K=0.5C，于是L=0.5C/w；K=0.5C/r。

从而F=（KL）^1/2＝0.5C（1/wr）^1/2

那么由原生产函数可以推导出其长期成本函数：

Q_Sj=-0.1F³+10F²+50F=-0.1[0.5C（1/wr）^1/2]³+10[0.5C（1/wr）^1/2]²+50[0.5C（1/wr）^1/2]

=-0.0125（1/wr）^3/2 C³+2.5（1/wr）C²+25（1/wr）^1/2 C

在完全竞争长期均衡条件下，必然有LAC=LMC，也就是说1/LAC=1/LMC。

因此有：1/LAC= Q_Sj/C=-0.0125（1/wr）^3/2 C²+2.5（1/wr）C+25（1/wr）^1/2

而1/LMC=dQ/dC=-0.0375（1/wr）^3/2 C²+5（1/wr）C+25（1/wr）^1/2

令1/LAC=1/LMC，则有：

-0.0125（1/wr）^3/2 C+2.5（1/wr）＝-0.0375（1/wr）^3/2 C+5（1/wr）

整理后，得到：0.025（1/wr）^3/2 C=2.5（1/wr）。

即C=100（wr）^1/2，（wr）^1/2＝C/100，则（1/wr）^1/2=100/C

由此可得F=（KL）^1/2＝0.5C（1/wr）^1/2=50，而又已知L=25，所以K＝100。

当F=50时，可求得单个厂商的供给量：

Qsj=-0.1F³+10F²+50F=-12500+25000+2500=15000

所以总供给量Qs=100 Qsj=1500000

（1）、当市场达到均衡时，产量等于需求量：

Qs＝Qd=1000000（2.25-0.5p）=1500000，即P=1.5。

每周的工资率w=P×MP_L，而MP_L=（dQ/dF）×（∂F/∂L）=［-0.3F²+20F+50］×（0.5F/L）

可以得到：w=1.5×300=450

（2）、由生产要素定价原理，可知每单位资本K的价格为：r=P×MP_K

而MP_K =（dQ/dF）×（∂F/∂K）=［-0.3F²+20F+50］×（0.5F/K）

于是可以得到：r=1.5×300×0.25=112.5

解：在完全竞争市场，长期均衡的条件下，各个厂商的平均生产成本应当达到最低点，即平均生产成本最小。

①、假设单个厂商的产出Qs_j为定值，那么显然F的值越小越好：因为F＝(KL)^1/2，它直接关系到了成本问题；如果Qs_j一定，而F的值达到了最小，我们进一步地取F为定值时的成本最小化的条件，那么就意味着Q一定的情况下，Q的平均成本达到了最小。（即F值的变化方向与总成本变化方向是一致的）

Q/F= -0.1F²+10F+50

两边取对F的导数，并令其等于零，有：d( Q/F)/dF=-0.2F+10=0，F=50。

而此时，[Q/F]对于F的二阶导数为-0.2，因此F=50时，[Q/F]达到最大。

若F＝50＝(KL)^1/2，那么由L=25，可以得出K=100。

此时的单个厂商的产出为：Q_Sj=-0.1F³+10F²+50F=15000

那么100个厂商的总产出为Qs=15000×100=1500000

而总需求函数为：Qd=1000000（2.25-0.5P）＝Qs，于是P=1.5。

②、在完全竞争条件下，生产要素定价公式ω=MP_L×P，r=MP_K×P。对于各个厂商来说：

MP_L=（dQ/dF）×（∂F/ ∂L）=[-0.3F²+20F+50]×0.5×50/25=300

MP_K=（dQ/dF）×（∂F/ ∂K）=[-0.3F²+20F+50]×0.5×50/100=75

于是工人每周的工资率为ω=MP_L×P=300×1.5=450

每单位资本的价格为：r= MP_K×P=75×1.5=112.5

验算时，要用MC＝LAC＝P就可以了。

验算：P=1.5；

LAC=（r×K+ω×L）/Q=（112.5×100+450×25）/15000=1.5

请大家多帮忙