一道初中几何题对于方法论的启示

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               一道初中几何题对于方法论的启示

                         于德浩

                        2020.3.18

一个问题，总会有不同的解决方法。在我们当前的已知信息及所用工具，总会有与之相配的解决方案。发现问题、分析问题、解决问题；面对问题，一时想不出办法，不要气馁；总会有办法，至少能部分的解决当前遇到的问题。

这是一个初二的考试几何题。一个边长是4的正方形ABCD，逆时针编码，A在左下方，C在右上方。对角线AC上有一个动点G；E在底边AB上，AE=3；请问三角形GEB的最小周长是多少？

先说一下标准答案，这是个巧妙的解法。做辅助线DG，由于D点与B点关于正方形的对角线AC对称，所以GB=GD。 待求三角形的周长=GB+GE+EB=GD+GE+1。由于三角形的两边之和大于第三边，所以看三角形GDE，就有GD+GE>DE。所以，待求三角形的周长>DE+1=(4^2+3^2)^0.5+1=6。

这个巧妙的想法，还是很难想到的。我们也可以硬算，用高中解析几何及大学的微积分工具。A点是坐标原点（0，0），E点（3，0），B点（4，0），G点（x，y），C（4，4）。

对角线AC的直线方程是y=x，所以三角形GEB的周长z就是，((x-3）^2+(y-0)^2)^0.5+((x-4）^2+(y-0)^2)^0.5+1=((x-3）^2+x^2)^0.5+((x-4）^2+x^2)^0.5+1。

我们就开始求这个两个根号下算式的之和的最小值。根据微分求导，这个算式的一阶导数对应的x值，就是极大值或极小值；由于，这个算式的二阶导数大于0，所以这就是个极小值（最小值）。

看待求周长z的一阶导数。dz/dx=1/2*(2x^2-6x+9)^(-1/2)*(4x-6)+ 1/2*(2x^2-8x+16)^(-1/2)*(4x-8)。当一阶导数为0时，可求得x=12/7。把x值代入周长z，就可以求得最小周长=（400/7^2）^0.5+(225/7^2)^0.5+1=5+1=6。

当然，这种硬算，是非常复杂麻烦的。能估计出1.5<x<2；依次通分、移项、方程两边平方、合并同类项，最后才能得出3.5x^2=6x，从而解出x=12/7。

对于同一个问题，确实有最优方法。好的方法，事半功倍；坏的方法，惊人动马、大费周折，最后可能还得不偿失。

有大智若愚的一般方法，俗称笨法子。这个不投机取巧，只要有耐心，仔仔细细，按部就班，总能最后到达目的地，只不过耗时会久些。

最重要的就是，当发现问题时，解决问题不是一蹴而就的。时间会耗在什么地方呢？一是想办法的时间，二是具体措施执行遇到的困难和必要的耗时。我们什么时候最着急呢？就是想不出办法、手足无措的时候。 其实，我们应该坦然面对棘手的问题，不气馁、不慌张。

如果一下子就能想到办法，那这也早就不算是一个问题了。 最不应该的是，错上加错，匆忙制造出更多的麻烦。要先无为，静心好好想一想；谋定而后动，然后再有为；一定不要随意胡为。

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关键词：方法论 解决方法 解决方案 标准答案 ABCD

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将军饮马问题，95%的初中生都会，属于初中几何中的基础题了。现在困扰初中学生的是阿氏圆、胡不归、费马点、辅助圆等最值问题。