平狄克 微经短期扩张路径 有个问题想了很久

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这个图来自课本P232
问题是：当厂商的短期扩张路径经过M点处时，是否有MPl最大？
如果有，能不能严格证明？即证图中的式子。
我尝试用生产函数推导，但失败了，感觉是缺少对F（K，L）性质的数学描述。

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关键词：扩张路径 平狄克 生产函数 MPL

我犯了一个简单的变量关系上的逻辑错误。
MPl是由F（K，L）决定的，且只由生产函数本身性质决定。唯一能改变MPl的是生产技术。
而长期扩张路径是由w、r和F（K，L）三者决定的，当w和r变化时，长期扩张路径就发生变化。如果你图中的等成本线AB因为w和r变化而变化了，那么切点M就发生了变化，L0也变了，而只要F（K，L）不变，MPl应当是始终不变，使得MPlmax的L也不变。那么w和r变化后，就没有切点处MPlmax这个结论了。

在数学抽象化前，先考虑好变量与变量之间的关系，搞清楚哪些是自变量哪些是因变量，哪些是外生的变量。