突 变 论

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突
变
论Mathematical models of morphology



突变理论是20世纪70年代发展起来的一个新的数学分支。突变论从英文字面可以看出是表述形态学数学模式的一门科学，是专门研究不连续现象的一门新兴的数学分支。突变理论的提出归功于法国数学家托姆（Ｒene.Thom），他在法国比尔高等研究院从事微分拓朴学研究，１９７２年，托姆发表了数十万字的专著《结构稳定性和形态形成学》，由此奠定了突变理论的基础理论。
一、
突变现象

许多年来，自然界许多事物的连续的、渐变的、平滑的运动变化过程，都可以用微积分的方法给以圆满解决。例如，地球绕着太阳旋转，有规律地周而复始地连续不断进行，使人能及其精确地预测未来的运动状态，这就需要运用经典的微积分来描述。２０世纪科学家发现自然界许多现象是不连续的离散随机模糊浑沌的和突变的，如水突然沸腾，冰突然融化，房屋突然倒塌，病人突然死亡火山突然爆发、地震突然发生、心脏突然早搏，心肌梗塞发作，汽车突然碰撞、黑色星期六经济危机突然降临……这些现象都是系统结构和形态发生跃迁现象，是不连续的其几何图形是不光滑的。然而过去三百年来，数学可利用的绝大多数技巧和哲学方法是对连续和渐变形态作定量研究（当变量渐变趋向一个极限值时发生质变），这些方法是以牛顿和莱布尼兹时代就很熟悉的微积分学作为基础的，这些方法来解释不连续和突变现象时就束手无策了。特别是使科学家们感到棘手的问题是那些光滑变化和突然变化之间的连续过渡，它们既不能用微分方程来处理，又不能将它们当作完全离散的过程来研究，而这一类转变在科技领域、经济建设乃至社会科学领域中都是司空见惯的。正因为现实生活中的需要，所以托姆的突变论一问世立即引起了人们的普遍关注，广泛地移用到战争对策、市场变化，工程技术诸多方面。
二、突变论的基本思想
  　突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程。如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声，倒塌下来。这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。又如社会变革，从封建社会过渡到资本主义社会，法国大革命采用暴力来实现，而日本的明治维新就是采用一系列改革，以渐变方式来实现。是否采取暴力或是渐变方式，主要取决于当局者是否顺应天道。若是顽固不化，笃信专制镇压，倒头来只能被暴力推翻；若是放弃镇压，采取和平的变革措施，社会既能进步，而自己则又能够长治久安。

对于这种结构的稳定与不稳定现象，突变理论用势函数的洼存在表示稳定，用洼取消表示不稳定，并有自己的一套运算方法。例如，一个小球在洼底部时是稳定的，如果把它放在突起顶端时是不稳定的，小球就会从顶端处，不稳定滚下去，往新洼地过渡，事物就发生突变；当小球在新洼地底处，又开始新的稳定，所以势函数的洼存在与消失是判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变过程的根据。在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程，否则就是突变过程。
突变论是用数学工具描述研究系统状态跃迁的一门科学，它关心不连续的现象，给出系统处于稳定态和不稳定态的区域，并考虑使状态发生突变参数的位置、分界线和关节点（也称为临界点、奇点）。
例如，水在零度变成冰、超导体到临界温度时突然变成零电阻。
突变论关于系统的有序化进化有两个基本思想：
1、系统的熵增（无序化）、熵减（趋于有序化）可以在外界条件不变的情况下，在宏观无限小的时间内突然产生。
这说明系统有序和无序、进化和退化会突然发生，“兵者，无定法”。社会事件在同样条件下，由于人们不同思维方法、不同处理会突现出不同的结果。而结局出现在人们面前的时候，常常会令人说想不到，叹息运作者运筹维妙或坐失良机。渐进论者往往迂腐强调条件，突变方法则善长应变。
2、突变是产生有序的重要源泉。
系统的有序化不仅有渐变的方式，还有突变的方式。事物的有序变化不一定都是连续的，具有稳定的中间状态。更多的情况下是不连续的，不存在稳定的中间状态。无疑突变论为人们解释预测和控制突变现象以及系统的稳定或变化提供了又一种数学工具和思维方法。我们不仅要适应处理渐变社会事务，更要时刻准备处理应变突发事件，从心理上、思想上、工作作风和技术上适应突发事件的产生，在突发事件的面前取得主动权，不失时机的取得突现的胜利。
三、需要区别的几个问题
1、突变不等于质变　突变是以事物在变化过程中的稳定性为判断标志，质变是以事物的性质变化为标志。如高血压病人突然血压正常，又跳跃到血压高周而复始的循环，这种循环变化只是血压量的变化，谈不到质的变化。
2、新生的突变和新生的渐变一样，不一定都是进步变化。如一只苹果的腐烂、一个企业的破产、民主的失败就谈不上从简单到复杂、低级到高级的进步发展。
3、突变不一定都具有爆发性，即突变不一定就呈现剧烈的反应，如一只狗从进攻变为逃跑的转变就称不上：爆发性，而且突变未必一定是短促瞬间的事情，如物种进化、社会制度的更改都不是一朝一夕能完成的。

四、尖角突变模型分析
按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示。托姆指出，发生在三维空间和一维空间的四个因子控制下的突变，有七种初等突变模型：在各个局部区域间发生突变的类型：折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物脐形突变。

例如，用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝，使其向上弯曲，然后再用力压钢丝使其变形，当达到一定程度时，钢丝会突然向下弯曲，并失去弹性。这就是生活中常见的一种突变现象，它有两个稳定状态：上弯和下弯，状态由两个参数决定，一个是手指夹持的力(水平方向)，一个是钢丝的压力(垂直方向)，可用尖

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关键词：Mathematical mathematica Mathematic morphology Thematic 稳定性 微积分 数学家 研究院 自然界

可用尖顶突变来描述。

  我们来分析尖角突变模型的性质：

这个突变的状态函数在投影平面上的投影像是艾菲尔铁塔，故得名为尖角：

　　　　b



P　　　　　r

A‘　B　　　　 　　　N　

              R                    

       a　          B`

M　　　　　　A　   　　　　　　　O

                                                                     

          r      b

                 a

                        　　x

                   α       β

    尖角突变模型的飞毯几何图形



图中，P＝AA‘BB‘为平衡曲面，O为中页，N为上页，M为下页，X为状态参数。

从尖角突变模型我们可以看出，其突变具有如下五种性质：

1、          双态性　在中间状态的平衡曲面上发生的行为在它的进展中必然发生分离，或者沿a　走上N面，或者沿b走上M面，而不会始终保持在中间状态PO区。这就是中间状态必然要分化，双轨制不能持久。东欧巨变很快走向民主，而百日维新夭折向封建主义故土。在强权向民主过渡的过程中，会出现一段短暂的中间突变期，这时间不会太长就会分离走向民主或退向强权。进入中间状态前，我们不能噪动；当中间状态来临时我们需敏感地发现“春江水暧”，及时调整我们的战略和工作方式，敢于迎接适应暴风雨的到来，而不至于无所适从，惊慌失措错过了机会，又进入痛苦的等待期。在这中间过渡期涌现“红尘多少奇才”，而“春史几番春梦”又是那么波澜壮阔令人叹为观止。其中浑沌态充满不确定性，变化无穷奇幻无比，全无规律而言，勇者智者胜之，怯者愚者败之，从中微妙仅存乎一心而矣。

2、   突变性　从飞毯图形来看，在P曲面上的折叠处O，是相当不稳定的区域，a行为沿着BB’, b行为沿着AA’ 发生中断和跳跃，中间不存在一个连续而且稳定的状态，就像水在零度时结为冰，而在零上时化为水，不存在非冰非液非气的状态一样。有些现象即虽有模糊中间态，也是很短促就过去了，事物在长期动荡痛苦的中间态不容易维持和正常发展的。我国价格双规制带来的混乱是人所共知的，一种社会制度或规章制度要么执行，要么放弃，时用时废国则不国，即使过渡用也不能时间太久，在浑沌的难产状态下延续维持，是要出人命的。“我们今天所感受到的社会弊病,大都是随改革而来,其根源都在改革.”此言不准确，其根源应为中间状态。过去是在一系统下的协调，而现在是在中间状态过渡中的动荡。
　　分娩阵痛是不宜长久的，解决的办法，彻底改革，及早跃到另一大系统中去。

在突变过程到来时我们需要的是飞跃，是革命，是爆发，否则将是死亡。在现代科学建设的大堤和测验维修手段面前，小浪渐蚀已经无济于事了只有足够能量的海啸一浪定乾坤。统计说明，在自然灾害中能逃生出去的人，都是一些意志坚强动作灵活的人，能及时离开危险的地带。当断不断反受其乱。时乎时，不在来。在地狱的入口处，任何犹豫不决和徘徊都是无济于事的。

3、   滞后性　从飞毯图形来看，在惯性、胶着的作用下，或者为重新聚集力量， a行为多走了AB‘段才沿着B’ B 发生跳跃, b行为多走了BA’段沿着A’ A发生跳跃，出现了时间差，这就是机遇。

毛泽东用兵奥妙之处，很会与敌人打时间差，大路朝天，各走一边。在a行为到达N地带时，b行为早已通过A‘A滑到M区域尽开颜了。社会发展政治改革的机遇，即现即逝，夫兵久而国利者，未之有也，此非迂儒书生所能想象的。天与不取，反取其咎。无为而治并非任何时间地点都可套用，萧规曹随曹参可，毛邓章法现在用则不可，为何？势不同也。现在中国急需要的恰恰是毛邓的阳刚开拓精神，而非面糊刷子。

4、不可接近性　行为a 、b不经过中间折叠叶O

，只能是在AA，BB之间跳跃。这说明事物的质变点就是民质事物的分界点、中断区。在事物和运动的分界线、关节点，最容易为人们忽略，也最难于被人发觉、看清和控制，在这个区域往往隐藏着客观世界变化的最神秘的秘密，是客观事物发生变化的关键所在。哈肯说得好，世界就是从旧结构――不稳定态――新结构不断变化的过程。从行为曲面在底面　上的投影可以看出，最初发生在中间状态r点上事件，必然要分叉为两个方向发展（α，β），这就说人必须在二者必居其一面前作出决策，鱼和熊掌不可兼得，又要科研，又要经商，自己只能陷入一种不稳定的有害局面。

5、   系统的发散性　在行为的出发点沿着分支线将事物导向廻然不同的方向和轨道的现象，便是突变的发散性。这就是说，系统在初态的微小扰动和不同选择，就会决定着并且发展成终态的巨大的差别。差之毫厘，失之千里。这样的事情我们见了太多了，所谓千古不同棋，世上那么多人下棋没有从头到尾相同的棋局。我有一朋友上世纪到美国留学现在已被评为世界名人；而他的同学和我们一些朋友未能出去，如今一事无成，大家常有一失足成千古恨的感觉。古有蜀二僧，一人一銎一钵到南海，一人准备车船一年尚未动身。

上世纪，1993年中印两国尚在同一起跑线上，因为我们选择了在原体制下的再试验，如今内忧外患一起来，而印度现在则成了世界第二软件大国。教人不胜痛惜。

上面我们讨论了尖角突变模型的五个性质，这五个性质，由于统一在相互关联的一个模型中。所以当我们发现某一事件呈现出尖角模型的其一性质，就应积极寻找其他性质，建立尖角模型来描述分析这个事件，及时调整我们的行为和思想，适应这一事件突变时期的到来。尖顶突变和蝴蝶突变是几种质态之间能够进行可逆转的模型。自然界还有些过程是不可逆的，比如死亡是一种突变，活人可以变成死人，反过来却不行。这一类过程可以用折迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述。所以，突变理论是用形象而精确的得数学模型来描述质量互变过程。

   

五、突变理论的应用

英国数学家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命——微积分后最重要的发现”。他还组成一个研究团体，悉心研究，扩展应用。短短几年，论文已有四百多篇，可成为盛极一时，托姆为此成就而荣获当前国际数学界的最高奖——菲尔兹奖。

  托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。

    突变理论提出一系列数学模型，用以解是自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石的破裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变……。

     托姆的突变理论，就是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。

    突变理论提出一系列数学模型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石的破裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变……。突变的关系，提出了动态系统、非线性力学系统的突变模型，解释了物理过程的可重复性是结构稳定性的表现。在化学中，用蝴蝶突变描述氢氧化物的水溶液，用尖顶突变描述水的液、气、固的变化等。在生态学中研究了物群的消长与生灭过程，提出了根治蝗虫的模型与方法。在工程技术中，研究了弹性结构的稳定性，通过桥梁过载导致毁坏的实际过程，提出最优结构设计……。

突变理论在社会现象的一个用归纳为某种量的突变问题，人们施加控制因素影响社会状态是有一定条件的，只有在控制因素达到临界点之前，状态才是可以控制的。一旦发生根本性的质变，它就表现为控制因素所无法控制的突变过程。还可以用突变理论对社会进行高层次的有效控制，为此就需要研究事物状态与控制因素之间的相互关系，以及稳定区域、非稳定区域、临界曲线的分布特点，还要研究突变的方向与幅度。

全无规律而言，勇者智者胜之，怯者愚者败之，从中微妙仅存乎一心而矣。
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兵无定法，书呆子们硬是照搬定律按部就班，头早落了地。

太高深了，，，，

是呀 再简单不过的道理 应用的时候 就会发现 幻妙无穷~~~ 但是 你看曾看到 一个理论的框架其实并不是 理论本身有多复杂 而是你用了什么样的工具 去解释 应用它了~~~哲学的力量 可见一斑~~~探究 数哲之理~~~理解 宇宙玄机~~~

如果还套用150年过时的思想方法来解决问题，就仍然走不出过去的错误。

7# 金煊
   呵呵，好像这有多先进似的。当然偶也学过几天现代数学物理方程，知道突变、分形是怎么回事，你觉得这东西提供了什么新鲜东西没有。马克思的理论原本就不是什么连续性的、线性决定的。

突变和渐变式马克思研究很多的东西，马克思的阶级斗争理论，其实就是一种突变理论，而毛泽东更是把突变论实践了一回，突变结果具有很强的破坏性，所以还是要慎重的应用，除非能够准确预见其后果，希望大家不要只看理论，更多的要看看理论所描述的现象在现实中的表现，这叫理论联系实际。

在渐变期用渐变方法,到了突变期要用突变论,不能循规蹈矩坐失良机.