求：“连续性公理”推导“无差异曲线不会只有一个点”的证明过程

最近看到一份讲义写着：“连续性公理”能推导出“无差异曲线不会只有一个点”。

谁能帮我数学证明一下。最好是用集合论的证明，次之用数学分析等证明也可以。谢谢！

数学公式如果不能打到回答栏中，可以用WORD做成文件放入附件中。

{:3_43:}，没人会啊！{:3_58:}

huangyuzhu 发表于 2010-11-3 12:14 最近看到一份讲义写着：“连续性公理”能推导出“无差异曲线不会只有一个点”。

这份讲义中的“连续性公理”指什么？

http://www.pinggu.org/bbs/thread-37625-1-1.html

3# sungmoo

我理解为是偏好的连续性假设，而不是数学的连续统定理。

不懂，来学习的。

huangyuzhu 发表于 2010-11-5 09:21 我理解为是偏好的连续性假设，而不是数学的连续统定理。

连续性假设（公理）有点耐人寻味的是，它并没有说明有关消费集的拓扑是什么。

（如果有关消费集的拓扑是离散拓扑，“无差异集”是否可以是独点集？）

7# sungmoo

不懂？怎样构建一个离散结构，使其中的偏序关系满足连续性假设。离散结构本身应该是违背连续性假设的吧。

huangyuzhu 发表于 2010-11-13 15:40 不懂？怎样构建一个离散拓扑结构，使其中的偏序关系满足连续性假设。离散结构本身应该是违背连续性假设的吧。

“离散拓扑”并不指“离散结构”。

集A的离散拓扑指以A的幂集作为拓扑（从而，A的任一子集都既是开集又是闭集）。

9# sungmoo

我是这样解的：连续性意味着：对于所有x，上等值集和下等值集均为闭集.也就是说，它们包括了边界。根据这个定义，用反证法，证明“无差异曲线如果只有一个点”则“连续性公理”不成立。假设无差异曲线只有一个点a。扣除无差异曲线点a外的部分只能分为两个部分，一部分为严格好于这个点的，另一部分是严格劣于这个点的。找出这两个部分的“边界点”。“边界点”的含义是以任意e>0为半径，“边界点”为圆心做圆，这个区域内必然即包含严格好于a的区域和严格劣于a的区域。找到一个边界点b，在严格好于a的区域能找到一个序列{Yi}，{Yi}的极限是b，且每个Yi都严格好于a，因此b严格好于a。在严格劣于a的区域能找到一个序列{Zi}，{Zi}的极限也是b，且每个Zi都严格劣于a，因此b严格劣于a。b即严格好于a又严格劣于a、推出矛盾。

不知道这个推理有没有错呢？请sungmoo指教！