一道微观的证明题

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证明：若消费者的全部收入只购买两种商品，那么这两种商品不可能都是劣等品。

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关键词：证明题 劣等品 消费者 微观

这题是对外经贸10年研究生试题呢，大家帮个忙给个细细的解答 谢谢

劣等品的表达式是dX/dM<0
根据预算：有Px*X+Py*Y=M，Px、Py是给定值
左右取微分：Px*dX+Py*dY=dM
于是Px*dX/dM+Py*dY/dM=1
得出，当dX/dM<0，那么dY/dM>0
不然等式无法成立
故不可能都是劣等品

这这证明并不难。运用反证法就可以了。
对两个商品组成的预算约束试（就是两个商品价格乘以消费量之和等于收入）左右求关于收入的偏导，注意这里的消费量是马歇尔需求函数，其是价格和收入的函数。
这样左边就是第一个商品的价格乘以其消费量对于收入I的偏导加上第二个商品的价格乘以其消费量对于收入I的偏导，右边等于1.
劣等品的定义即是某个商品的需求函数对其收入的偏导为负。
如果左边两个均为劣等品，那么左边一定小于零，而右边为1.显然矛盾。
那么原题得证。
由于不太会编辑数学公式，只能这么凑合了。直观上也很好理解，如果两个商品均为劣等品，给定价格上升，两个商品的消费量都要下降，但这明显不满足两个消费函数使得效用最大化的前提，因为收入上升对应的效用应该提高，而两种商品消费量均下降显然使得效用下降。
Ps：这个命题的推广的一般形式是一个消费者消费的 n个商品不可能全是劣等品。

和2楼的一样，2楼的看起来更简洁。。。。楼主如果对这方面的证明不太行，可以参阅下北大平新乔老师的《微观经济学十八讲》，如果只是考研，前十讲就够了。。。。

2# rare

如果两种商品都是劣等商品那么不可能相加等于 1

反正法：设消费者全部收入I全部用来购买劣等品X1和劣等品X2，X1和X2的价格分别是P1,P2，此时预算方程是P1*X

反正法：设消费者全部收入I全部用来购买劣等品X1和劣等品X2，X1和X2的价格分别是P1,P2，此时预算方程是P1*X¹1+P2*X¹2=I；假设消费者的收入增加为I1(即I1>I)，消费者的收入又只用来消费X1和X2，新的预算方程变为P1*X²1+P2X²2=I1；由于I1>I,于是不等式X²1＞X¹1和X²2＞X¹2至少有一个成立，这就与消费者对劣等品的消费量随着消费者收入的增加而减少的基本性质相矛盾，所以在这种情况下原假设不成立；同理可以类似证明当消费者收入减少时，同样可以推出与劣等品基本性质矛盾的结果，即证明收入减少时原假设同样不成立。综合以上，可的消费者不可能同时消费且只消费两种劣等品。（证明中，X¹1代表第一种收入情况消费商品1的数量，X²1代表收入提高后消费商品1的数量）

http://www.pinggu.org/bbs/thread-49875-1-1.html

http://www.pinggu.org/bbs/thread-236166-1-1.html

http://www.pinggu.org/bbs/thread-912580-1-1.html

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