[原创]马克思主义的生产资料社会所有制与产品经济的矛盾

谁给出产品、土地、人才、娱乐等等的影子价格？是怎样给的？给谁？为什么要给谁？这就是实实在在的操作领域，如果你不能自圆其说的话，那么你还是盲目的。

这是可以算出来的，不过是一个全国一体是一个很恐怖的方程组，

首先要分析实物投入产出，影子价格的算法线性规划里有！！！

康托洛维奇就给出过土地等影子价格的算法。

地方个企业或生产组织为了自身效益最大化就会选择影子价格消耗最小的方式（生产什么产品、产量多少，有可能有很多不同的最优解组，企业根据情况进行选择），从而与中央计划的目标完全一致。

以下是引用精忠岳飞在2006-6-28 22:34:00的发言：

谁给出产品、土地、人才、娱乐等等的影子价格？是怎样给的？给谁？为什么要给谁？这就是实实在在的操作领域，如果你不能自圆其说的话，那么你还是盲目的。

这是可以算出来的，不过是一个全国一体是一个很恐怖的方程组，

首先要分析实物投入产出，影子价格的算法线性规划里有！！！

康托洛维奇就给出过土地等影子价格的算法。

地方个企业或生产组织为了自身效益最大化就会选择影子价格消耗最小的方式（生产什么产品、产量多少，有可能有很多不同的最优解组，企业根据情况进行选择），从而与中央计划的目标完全一致。

我问的并不是能不能算出来价格的问题，问题在于算出来以后，谁提供影子货币？影子货币给谁？为什么要给谁？给谁的理由是什么？

影子货币给谁？为什么要给谁？给谁的理由是什么？

什么是影子货币？？？？？

看来你没有理解影子价格的概念，影子价格又叫客观制约诂价，是一种制约条件。

以下是引用精忠岳飞在2006-6-28 23:35:00的发言：

影子货币给谁？为什么要给谁？给谁的理由是什么？

什么是影子货币？？？？？

看来你没有理解影子价格的概念，影子价格又叫客观制约诂价，是一种制约条件。

你是学统计学的吧？整个社会发展是不是只有统计学就够了？

你光估价有什么用？谁来执行这种价格？价格的调整变动大都在商业人士手里，谁制约得了？

6.1 线性规划

1939年苏联数学家、计划经济学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》

1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论.

1. 问题

例1 作物种植安排

一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力 1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为 110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大.

分析：以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标.

1. 求什么？分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻？ x₁ 亩、 x₂ 亩、 x₃ 亩

2. 优化什么？ 产值最大 max f=10x₁+75x₂+60x₃

3. 限制条件？ 田地总量 x₁+x₂+x₃ £ 50 劳力总数 1/2x₁+1/3x₂+1/4x₃ £ 20

模型 I : 设决策变量：种植蔬菜 x₁ 亩, 棉花 x₂ 亩, 水稻 x₃ 亩，

求目标函数 f=110x₁+75x₂+60x₃

在约束条件x₁+x₂+x₃ £ 50 1/2x₁+1/3x₂+1/4x₃ £20 下的最大值

规划问题：求目标函数在约束条件下的最值,

规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。

当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。

2. 线性规划问题求解方法

称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域,

称使目标函数达最值的可行解为最优解.

命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集.

因为可行解集由线性不等式组的解构成。两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。

命题2 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到.

图解法： 解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。

命题3 当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时，构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。

于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。

单纯形法 : 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解集的极点中搜寻最优解.

正则模型:

决策变量: x₁,x₂,…,x_n. 目标函数: Z=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n.

约束条件: a₁₁x₁+…+a_1nx_n≤b₁, …… a_m1x₁+…+a_mnx_n≤b_m,

模型的标准化

1⁰. 引入松弛变量将不等式约束变为等式约束.

若有 a_i1x₁+…+a_inx_n≤b_i, 则引入 x_n+i≥ 0, 使得 a_i1x₁+…+a_inx_n+ x_n+i =b_i

若有 a_j1x₁+…+a_jnx_n≥b_j, 则引入 x_n+j≥ 0, 使得 a_j1x₁+…+a_jnx_n- x_n+j =b_j.

且有 Z=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+0x_n+1+…+0x_n+m.

2⁰. 将目标函数的优化变为目标函数的极大化. 若求 min Z, 令 Z’=–Z, 则问题变为 max Z’ .

3⁰. 引入人工变量,使得所有变量均为非负. 若 x_i 没有非负的条件,则引入 x_i’≥ 0 和 x_i’’≥0, 令 x_i= x_i’– x_i’’, 则可使得问题的全部变量均非负.

标准化模型

求变量 x₁, x₂,…, x_n,

max Z = c₁x₁+…+ c_nx_n,

s. t. a₁₁x₁+…+ a_1nx_n= b₁,

……

a_m1x₁+…+ a_mnx_n= b_m,

x₁ ≥ 0,…, x_n ≥ 0,

定义: 若代数方程AX=B的解向量有n-m个分量为零, 其余m个分量对应A的m个线性无关列, 则称该解向量为方程组的一个基本解.在一个线性规划问题中, 如果一个可行解也是约束方程组的基本解, 则称之为基本可行解.

命题 4 一个向量 x 是线性规划问题可行解集的一个极点, 当且仅当它是约束方程的一个基本可行解。

于是寻找取得极值的凸集极点的几何问题变成了求代数方程基本解的问题，形成了解优化问题的单纯形方法，改进单纯形方法等。按这些计算方法编制程序，产生了Matlab优化工具箱和专门解优化问题的软件 Lindo、Lingo 。

用Matlab求解：

标准的线性规划的模型：

min f=c^Tx

s.t. Ax £ b

A1x=b1

LB £ x £ UB

Matlab求解程序: [x,f]=linprog(c,A,b,A1,b1,LB,UB)

还有软件Excel 也可应用于解优化问题。

3 对偶问题

例1 作物种植安排

一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力 1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为 110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大.

分析：以最经济的投入达到收益最大的目标.

（或者说以直接出售土地和劳动力的方式达到收益最大的目标.）

1 求什么？土地成本价格 y₁ 劳动力成本价格 y₂

2. 优化什么？ 成本价格最低 Min g=50y₁+20y₂

3. 限制条件？

蔬菜的市场价 y₁+1/2y₂ ³ 110

棉花的市场价 y₁+1/3y₂ ³ 75

水稻的市场价 y₁+1/4y₂ ³ 60

模型 II .

设决策变量: 对单位土地和对单位劳力投入成本价格分别为 y₁ y₂

求目标函数 g=50y₁+20y₂

在约束条件 y₁+1/2y₂ ³ 110 y₁+1/3y₂ ³ 75 y₁+1/4y₂ ³ 60 下的最小值.

设 A 是m ´ n 矩阵，
c 是 n ´ 1向量，b 是 m ´ 1向量
x是 n ´ 1向量, y是1 ´ m 向量

问题: max f=c^Tx s.t. Ax £ b x_i³0, i=1,2,¼,n.

对偶问题: min f=yb s.t. yA ³ c y_i³0, i=1,2,¼,m.

对偶定理: 互为对偶的两个线性规划问题, 若其中一个有有穷的最优解, 则另一个也有有穷的最优解, 且最优值相等. 若两者之一有无界的最优解, 则另一个没有可行解

模型 I II构成对偶问题.

模型 I 解得最优解(optimun solution) X_opt=(30 0 20), 最大值 f(x_opt)=4500

模型 II 解得最优解 y_opt=(10 200), 最小值 g(y_opt)=4500.

模型I 给出了生产中的资源最优分配方案

模型 II 给出了生产中资源的最低估价.

进一步问：如果增加对土地和劳动力的投入，每种资源的单位投入增加会带来多少产值？

由最优解 y=(10,200) 可见, 多耕一亩地增加10元收入，多一个劳动力增加200元收入。也就是说, 此时一个劳动力的估价为200元,而一亩土地估价为10元.

这种价格涉及到资源的有效利用, 它不是市场价格, 而是根据资源在生产中做出的贡献确定的估价, 被称为“影子价格”.

再进一步问，棉花价格提高到多少才值的生产？

由 y₁+1/3y₂=10+200/3=76.6>75, （而其它两个约束条件是等式）可见，只有当棉花价格提高到 76.6元时才值得生产.

Lingo命令

Model:

Max=110*x1+75*x2+60*x3;

x1+x2+x3<=50;

1/2*x1+1/3*x2+1/4*x3<=20;

end

输出结果

Global optimal solution found at iteration: 2

Objective value:最优值 4500.000

Variable Value最优解 Reduced Cost

X1 30.00000 0.000000

X2 0.000000 1.666667

X3 20.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price对偶价格

1 4500.000 1.000000

2 0.000000 10.00000

3 0.000000 200.0000

结果解释

reduced cost值表示当该非基变量增加一个单位时（其他非基变量保持不变）目标函数减少的量(对max型问题)也可理解为：为了使该非基变量变成基变量，目标函数中对应系数应增加的量

Row Slack or Surplus 松弛量或剩余量，土地、劳动力剩余量为零。“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）

计划经济最优的运行条件，康托洛维奇在随后的《最优资源配置》（正是这个使他获得75年的诺贝尔经济学奖）中指出，

中央计划经济最优运行的条件，就是中央计划局根据现有的资源状况和技术水准对下边的生产组织、分系统或企业下达影子价格，而下边的组织为了自身效益最大化必然选择计算客观制约诂价消耗最小的方式，从而与中央计划的目标完全一致。

计划经济是和数学联系在一起的，研究计划经济实际上就是研究一些数学的问题。

4 灵敏度分析

当线性规划问题中的常数发生变化(由于测量误差或具有多个取值可能)时, 最优解是否会随之变化?

通常假定变化的常数是某参数的线性函数.讨论参数取值与最优解的关系的问题, 被称为参数线性规划.

例如, 当农作物的价格发生变化时, 生产计划是否应马上随之改变? 参见线性规划书籍

将实际问题归结为线性规划模型是一个探索创造的过程。

线性规划模型的求解仍是计算数学的一个难题。

例2 一家大建筑公司正在三个地点开掘。同时又在其他四个地点建筑，这里需要土方的填充。在1、2、3处挖掘产生的土方分别为每天150，400，325立方码。建筑地点A、B、C、D处需要的填充土方分别为175，125，225，450立方码。也可以从地点4用每立方码5美元的价格获得额外的填充土方。填充土方运输的费用约为一货车容量每英里20美元。一辆货车可以搬运10立方码的土方。表3-3给出了各地点间距离的英里数。求使公司花费最少的运输计划。

表3-3 例3.5中土方问题的英里数：建筑地点间的距离

挖掘地点	接收填充土方的地点A B C D
1	5	2	6	10
2	4	5	7	5
3	7	6	4	4
4	9	10	6	2

6.2 整数规划

在许多实际问题中，我们必须要处理离散变量如整数。离散数学曾被认为是比较神秘的领域，没有或几乎没有什么实际的应用。随着数字计算机的发明，离散数学变得极其重要。离散优化对时间安排、物资存储、投资、运输、制造业、生态学和计算机科学等方面的问题都非常有用。

如果要求决策变量取整数, 或部分取整数的线性规划问题, 称为整数规划.

当连续的决策变量变为离散变量时非线性优化问题通常会难解得多。没有连续性后可行域会变得很复杂，通常用一个图或树结构来描述。对一些类型的问题已经开发出了有效的求解算法，对这些算法的改进是一个非常活跃的研究领域，但与连续的情形一样，迄今还没有求解离散优化问题的普遍的有效算法。
例3 钢材截短

有一批钢材, 每根长7.3米. 现需做100套短钢材. 每套包括长2.9米, 2.1米,1.5米的各一根. 至少用掉多少根钢材才能满足需要, 并使得用料最省.

分析： 可能的截法和余料

第1种 7.3-(2.9× 2+1.5)=0

第2种 7.3-(2.9+2.1 × 2)=0.2

第3种 7.3-(2.9+1.5 × 2)=1.4

第4种 7.3-(2.9+2.1+1.5)=0.8

第5种 7.3-(2.1 × 2+1.5 × 2)=0.1

第6种 7.3-(2.1 × 3)=1

第7种 7.3-(2.1+1.5 × 3)=0.7

第8种 7.3-(1.5 × 4)=1.3

模型：设决策变量：按第i种方法截 x_i 根钢材。

求目标函数 f=0.2x₂+1.4x₃+0.8x₄+0.1x₅+x₆+0.7x₇+1.3x₈

在约束条件 2x₁+x₂+x₃+x₄=100 2x₂+x₄+2x₅+3x₆+x₇=100 x₁+2x₃+x₄+2x₅+3x₇+4x₈=100 x_i ³0 , i=1,…,8 下的最小值

解得 x_opt=(40, 20, 0, 0, 30, 0, 0, 0) , f (x_opt )= 7

实际上应要求x_i 为正整数。这是一个整数规划问题， 这里碰巧最优解是整数，所以用Matlab程序可以求得解。

例 4 . 飞船装载问题

设有n种不同类型的科学仪器希望装在登月飞船上, 令c_j>0表示每件第 j 类仪器的科学价值; a_j >0表示每件第 j 类仪器的重量. 每类仪器件数不限, 但装载件数只能是整数. 飞船总载荷不得超过数 b. 设计一种方案, 使得被装载仪器的科学价值之和最大.建模 记 x_j 为第 j 类仪器的装载数.

求 目标函数 f= å_j c_j x_j 在约束条件 å_ja_j x_j £ b, x_j 为正整数, 下的最大值.

用分枝定界法求解整数规划问题

基本思想:反复划分可行域并确定最优值的界限,将原问题不断地分枝为若干个子问题, 且缩小最优质的取值范围,直到求得最优解.

例:求目标函数 f=3x₁+2x₂ 在约束条件: 2x₁+3x₂ £14, 2x₁+x ₂ £ 9, x₁ x ₂为自然数下的最大值.

用Lingo软件求解整数规划

model:

max =3*x1+2*x2;

2*x1+3*x2<=14;

2*x1+x2<=9;

@gin(x1);

@gin(x2);

end

6.3 0-1规划

如果要求决策变量只取0 或 1的线性规划问题, 称为0-1规划.

0-1 约束不一定是由变量的性质决定的, 更多地是由于逻辑关系引进问题的

例5 背包问题

一个旅行者的背包最多只能装 6 kg 物品. 现有4 件物品的重量和价值分别为 2 kg , 3 kg, 3 kg, 4 kg, 1 元, 1.2元, 0.9元, 1.1元. 应携带那些物品使得携带物品的价值最大?

建模: 记 x_j为旅行者携带第 j 件物品的件数, 取值只能为 0 或 1.

求目标函数 f=x ₁ +1.2x ₂ +0.9x ₃ +1.1x ₄ 在约束条件 2x ₁ +3x ₂ +3x ₃ +4x ₄ £ 6下的最大值.

用Lingo 软件求解0-1规划

Model:

Max=x1+1.2*x2+0.9*x3+1.1*x4;

2*x1+3*x2+3*x3+4*x4<=6;

@int(x1);

@int(x2);

@int(x3);

@int(x4);

end

例 6 集合覆盖问题

实际问题 1 某企业有5种产品要存放, 有些不能存放在一起, 有些能存放在一起的, 由于组合不同所需费用不同. 求费用最低 的储存方案.

实际问题 2 某航空公司在不同城市之间开辟了5 条航线, 一个航班可以飞不同的航线组合, 不同组合成本不同, 求开通所有航线且总费用最小的方案.

抽象为集合覆盖问题：

设集合 S={1,2,3,4,5} 有一个子集类f={{1,2},{1,3,5},{2,4,5},{3},{1},{4,5}}其中每一个元素对应一个数 c_j , 称为该元素的费用. 选 f 的一个子集使其覆盖S , 且总费用最低.

即实际问题 1中5种产品能存放在一起的各种组合为

f={{1,2},{1,3,5},{2,4,5},{3},{1},{4,5}}第 i 种组合的存储费用为 c_j ,

求这五种产品费用最低的储存方案。

模型: 设决策变量：设DÍf是 S 的一个覆盖（一种存储方案）. 当f的第 i 个元素属于D, （即第 i 种组合被采用）记 x_i=1，否则x_i=0

求 目标函数 f= S_i c_ix_i

在约束条件 x₁ +x₂ + x₅³1 x₁ + x₃ ³1 (因为第2种产品只在第1，3个组合中出现)

x₂ + x₄ ³1 x₃ + x₆ ³1 x₂ +x₃ + x₆ ³1 x_iÎ{0，1}， I=1,2, ¼,6, 下的最小值.

混合问题例： 供货问题

一家公司生产某种商品. 现有n 个客户, 第 j 个客户需要货物量至少为 b_j,

可在m 各不同地点设厂供货. 在地区 i 设厂的费用为 d_i , 供货能力为 h_i ,

向第 j 个客户供应单位数量的货物费用为 c_ij. 如何设厂与供货使总费用最小.

模型： 设决0策变量： x_ij 为在地区 i 向第 j 个客户供货数量, 在地区 i 设厂，记 y_i =1 , 否则 记 y_i =0

求 目标函数 f= å _i (å_j c_ij x_ij + y_i d_i )

在约束条件 å_i x_ij = b_j, å_j x_ij -h_i y_i £0, x_ij³0, y_i Î{0，1} 下的最小值

6.4 多目标线性规划

目标函数 f_k=c _(k)^T x k=1,2, ¼, m,

s.t. Ax £ b

A1x=b1

LB £ x £ UB

有最优解 x _(k), 记 f _(k) =f(x _(k))

整体评价法

min S=S(f _(k) - c_(k)^T x)/ f _(k) （使相对偏差最小）

s.t. Ax £ b

A1x=b1

LB £ x £ UB

有最佳妥协解 x*.

习题:

1. 资源分配, 生产甲肥1吨, 需要磷酸盐0.4吨, 硝酸盐1.8吨,利润1万元;生产乙肥1吨,需要磷酸盐0.1吨,硝酸盐1.5吨,利润0.5万元. 现有磷酸盐10吨,硝酸盐66吨, 问甲、乙肥各生产多少吨获利最大？

2. 营养配餐, 甲种食品每10克含5个单位的蛋白, 10个单位的铁, 单价3元;乙种食品每10克含7个单位的蛋白,4个单位的铁, 单价2元. 现需要一份食品, 含有35个单位的蛋白,40个单位的铁, 问如何配餐最省钱?

3 资源的最优配置策略

某工厂有1000台机器, 生产两种产品 A, B, 若投入 y 台机器生产A 产品, 则纯收入为 5y .若投入 y 台机器生产B 产品, 则纯收入为 4y . 又知, 生产A 种产品机器的年折损率为20%, , 生产B 种产品机器的年折损率为10%, 问在5年内如何安排各年度的生产计划, 才能使总收入最高.

4. 混合泳接力赛由蛙泳、蝶泳、自由泳、仰泳组成。如何根据 4位运动员的4种游泳竞赛成绩安排混合泳接力队，以取得最佳成绩。

蛙泳 蝶泳 自由泳 仰泳

甲 99 60 59 73

乙 79 65 93 87

丙 67 93 63 81

丁 56 79 86 76

5. 一家出版社准备再某市开设两个销售点，向七个区的大学生售书。

每个区的大学生数量（千人）如图。

71

18 18

21

42

34

56

29

每个销售点只能向本区和一个相邻区的大学生售书。

这两个销售点应该设在何处，才能使所供应的学生数量最大。

6 仍考虑例2中的土方问题。在使用10立方码载重量的自动倾卸卡车运输的情况下，公司已经确定了最优的运输方案。公司又有三辆更大的卡车可用于运输，载重量为20立方码。使用这些车辆可能会在运输中节省一些资金。载重10立方码载的卡车平均用20分钟装车，5分钟卸车，每小时平均开20英里，费用为每英里单位重量20美元；载重20立方码载的卡车平均用30分钟装车，5分钟卸车，每小时平均开20英里，费用为每英里单位重量30美元，为最大限度地节约运输费用，应如何安排车辆的使用？

表3-5 例3.7中卡车问题的运输路线数据

路线	从	到	英里数	运量（立方码）
1	1	B	2	125
2	2	A	4	175
3	3	C	4	225
4	3	D	4	100
5	4	D	4	350

7. 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试，公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不许插队（即在任何阶段4位同学的顺序是一样的）。由于4位置同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下所示：

秘书初试 主管复试 经理面试

同学甲 13 15 20

同学乙 10 20 18

同学丙 20 16 10

同学丁 8 10 15

这4位同学约定他们面试完后一起离开公司，假定现在是早上8：00， 问他们最早何时能离开公司。

8 在甲乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达4个月，由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的乙方部队只能依靠空中交通维持供给。运送4个月的供给分别需要 2次、3次、3次、4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机需要3名飞行员），可以运送10万吨物资，每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每月也只能飞行一次，在执行完任务后的返回途中有20%的飞机会被乙方击落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第一个月开始的时候，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞行员，在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机，新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员作为教练每月指导20名飞行员（包括他自己在内），每名飞行员在完成一个月的飞行任务后必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能在投入飞行。已知各项费用如下，请你为甲方安排一个飞行计划。

第一个月 第二个月 第三个月 第四个月

新飞机价格 200 195 190 185

闲置的熟练的飞行员报酬 7 6.9 6.8 6.7

教练和新飞行员报酬 10 9.9 9.8 9.7

执行任务的熟练飞行员报酬 9 8.9 9.8 9.7

休假的熟练的飞行员报酬 5 4.9 4.8 4.7

计划经济虽然马克思最先提出来，也提出一些设想，但是计划经济并不是政治经济学的问题，而是一个属于数学的问题，政治经济学无法使计划经济有合理的经济核算。

所以说用《政治经济学》来指导计划经济本身就是特错大错！！！！！！

呵呵！还真把那一套线性规划给搬出来了，难为你了！

　　不过这样会把老百姓搞糊涂的，因为太复杂了。

简单一点来吧！

中国从改革开放以来到2005年截至，产品积压了80.5705万亿元，消费了53.4143万亿元，消费率37.3％、积压率62.7％，

问：积压的这么多的产品怎么处置？