PCA分析

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R中psych包可以进行主成分分析，其分析的步骤为：

（1） 判断主成分的个数；

（2） 提取主成分；

（3） 获取主成分得分；

（4） 列出主成分方程，解释主成分意义。

【例子】 测定了20株杨树树叶，每个叶子测定了4个变量(叶长x1，2/3处叶宽x2，1/3处叶宽x2，1/2处叶宽x2)，测定结果如表4-52所示。试进行本样本的主成分分析。

psych包中的fa.parallel()函数可以判断主成分的个数，其使用格式为：

fa.parallel(x, fa = , n.iter =)

其中，x为待研究的数据集或相关系数矩阵，fa为主成分分析(fa= "pc")或者因子分析(fa = "fa")，n.iter指定随机数据模拟的平行分析的次数。分析代码如下：

[size=1em]

[backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]1 [size=1em]2 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]3 [size=1em]4 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]5 [size=1em]6 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]7 [size=1em]8 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]9

[backcolor=initial !important][size=1em][backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]########## 代码清单 ########## [size=1em]library(psych) # 载入psych包 [size=1em]df<- read.table(file = 'd4.11.1.csv', header = T, sep = ',') # 读入数据 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]# df.cor<-cor(df[,-1]) # 计算相关矩阵 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]####判断主成分的个数 [size=1em]fa.parallel(df[,-1], fa = "pc", n.iter = 100, [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]                  show.legend = F, main = "Scree plot with parallel analysis")

运行上述代码，得到结果如下：

上图中，直线与x符号链接的曲线为碎石图，1.0水平线为1准则的特征值，虚线为100次随机数据模拟的平行分析。碎石图画出了特征值与主成分分数的图形。结果表明，选择2个主成分即可保留样本中的大量分信息。

第二步，提取主成分。psych包中的principal( )函数可以根据原始数据或相关系数矩阵做主成分分析，其使用格式为：

principal(x, nfactors =, rotate =, scores =)

其中，x是原始数据或相关系数矩阵，nfactors指定主成分个数，rotate指定旋转的方法(“none”或“varimax”)，scores为是否需要计算主成分得分(“T”或”F”)。

分析代码和运行结果如下：

[size=1em]

[backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]1 [size=1em]2 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]3 [size=1em]4 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]5 [size=1em]6 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]7 [size=1em]8 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]9 [size=1em]10 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]11 [size=1em]12 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]13 [size=1em]14 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]15 [size=1em]16 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]17 [size=1em]18 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]19 [size=1em]20 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]21 [size=1em]22 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]23 [size=1em]24 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]25 [size=1em]26 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]27

[backcolor=initial !important][size=1em][backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]library(psych) [size=1em]pc<-principal(df[,-1], nfactors = 2, score = T, rotate = "varimax") [size=1em]> pc        ### 运行结果  #### [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]Principal Components Analysis [size=1em]Call: principal(r = df[, -1], nfactors = 2, rotate = "varimax", scores = T) [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix [size=1em]    RC1   RC2   h2     u2 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]x1 -0.07  1.00 1.00 0.0031 [size=1em]x2  0.94 -0.28 0.97 0.0297 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]x3  0.99  0.09 0.98 0.0175 [size=1em]x4  0.99 -0.10 0.99 0.0060 [size=1em]                      RC1  RC2 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]SS loadings           2.86 1.09 [size=1em]Proportion Var        0.71 0.27 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]Cumulative Var        0.71 0.99 [size=1em]Proportion Explained  0.72 0.28 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]Cumulative Proportion 0.72 1.00 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]Test of the hypothesis that 2 components are sufficient. [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]The degrees of freedom for the null model are 6  and the objective function was 6.8 [size=1em]The degrees of freedom for the model are -1  and the objective function was   0.42 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]The total number of observations was 20 with MLE Chi Square = 6.6  with prob < NA [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]Fit based upon off diagonal values = 1

从上述的结果中可以看出，RC1、RC2栏包含了旋转的成分载荷(component loadings)，成分载荷是观观测变量与主成分的相关系数。成分载荷可用于解释主成分的含义。在本例中，第一主成分(RC1)与X2、X3、X4高度相关(相关值 > 0.9)，第二主成分(RC2)与X1高度相关(相关值 = 1)。

h2栏是成分公因子方差，是主成分对每个变量的方差解释度。U2栏是成分唯一性，是主成分无法解释变量方差的比例，其值 = 1-h2。比如，本例中，第一主成分对x2变量方差的解释为97%，2.97%不能解释。

SS loadings包含了与主成分相关联的特征值，其含义是与特定主成分相关联的标准化后的方差值。比如，本例中，第一主成分的值为2.86。接下来的proportion  var和cumulative  var分别为主成分对整个数据集的方差解释度和累积解释度。

本例中，第一主成分解释了4个变量71%的方差，第二主成分解释了27%的方差，累计方差的解释度为99%。

第三步，获取主成分的得分。在第二步的代码基础上，加上下面的代码，即可获得主成分的得分。

round(unclass(pc$weights),2)   ## 获取主成分得分的系数。

运行结果如下：

[size=1em]

[backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]1 [size=1em]2 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]3 [size=1em]4 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]5 [size=1em]6

[backcolor=initial !important][size=1em][backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]> round(unclass(pc$weights),2) [size=1em]   RC1   RC2 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]x1 0.09  0.94 [size=1em]x2 0.31 -0.16 [backcolor=rgb(250, 250, 250) !important][size=1em]x3 0.37  0.20 [size=1em]x4 0.35  0.02

根据上述的结果，即可写出第一和第二主成分的方程：

Y1 = 0.09 X1 + 0.31 X2 + 0.37 X3 + 0.35 X4

Y2 = 0.94 X1 - 0. 16 X2 + 0.20 X3 + 0.02 X4

从上述的两个方程中可知，第一主成分中，x2、x3、x4的系数相差不多，x1的系数较小，而x2、x3、x4均是叶宽的变量，因此第一主成分是表示叶宽的综合因子。同理，第二主成分主要由x1决定，是表示叶长的综合因子。总之，叶片之间的差异主要表现为叶宽，其次是叶长。

最后，还可画出样本排序图，横坐标为各样本第一主成分的得分，纵坐标为各样本第二主成分的得分，图中可直观地看出样本间的相互关系。全部叶片大致可分为两组：a1 ~ a10样本为一组，b1 ~ b10样本为一组。

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