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渗透数学建模意识，培养实际应用能力 _数学与应用数学论文
全文字数:3418 渗透数学建模意识，培养实际应用能力 [摘要]在数学教学中，渗透对学生的数学建模意识，培养学生的实际应用能力，完全符合新课标所提出的“学以致用，人人学有用的数学，数学教学必须与生产生活相联系”的要求，这也是提高学生素质的一个有效途径。因此，培养学生数学实际应用能力是现代数学教师刻不容缓的重任。 [关键词]数学建模 数学建模方法 数学建模意识 应用能力 数学建模与数学建模意识 数学模型就是对与现实世界的一个特定的对象，为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念，各种数学公式、方程式、定理、理论体系、算法体系、表格、图示等都称为数学模型。
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从集合论的观点看中学数学中的概念和问题 _数学与应用数学论文
全文字数:3311 从集合论的观点看中学数学中的概念和问题 【摘 要】：集合论是中学数学，乃至整个数学的理论基础．其他数学概念，诸如整数、有理数、实数、几何图形、函数、代数、运算、微积分等，都可以用集合论的理论、方法和语言加以表述。 【关键词】：集合论的理论与方法 表述 中学代数 几何 19世纪70年代Cantor创立的集合论，虽然在上世纪末已被数学家广泛接受，并用它作为构筑整个数学大厦的基础，但是它本身却是用说明的方式建立的，未被严格理论化，因此被后人称为“朴素”的集合论．尽管如此，在我们中学数学教科书或一般高等数学(非数学基础学科)书中所讲、所用的集合论知识，正是这种朴素的集合论． 从集合论的观点来看，中学代数主要研究数集的扩张、运算和变换．解方程(或不等式)f(x)= 0(≥0)，就是要求得与由命题形式给出的集合｛x|f(x)=0(≥0)｝相等的具体数集(指明它的元素是哪些数)．解n元方程组，则是要求得笛卡儿积Rn的一个具体子集，使等于由命题给出的集合． 中学几何，则主要研究作为平面和空间点集的几何图形．几何图形的性质，可以归结为相应点集之间关系的研究．几何图形的运动和变换，可以从相应集合的运算来考察．通过建立坐标系，把解方程与求曲线交点这两类问题对应起来，沟通了点集与有序数组之间的联系，把点集与数(对)集统一起来． 不少数学证明题可以归结为：由前提和结论所确定的两个集合相等或包含关系的判定．集合论为求解和证明数学题提供了简明的表达方式． 下面举出若干实例来说明这一点． Ⅰ．关于几何图形 中学平面几何和立体几何中一些基本几何图形，如线段、圆、球等，都是作为一个整体图形来看的．从它们传统的定义中，很难明确指出它们的各个部分究竟是什么，以致一些中学生分不清线段AB和它的长度|AB| ，圆与圆周，球和球面等．如果用集合论的方法和语言来表述这些图形，把它们看作是满足某些条件的点的集合．就会弄清楚这些图形究竟包括哪些点． 以O点为圆心、以r 为半径的圆，是集合 ⊙(O，r)＝ ｛P｜｜ OP｜≤r｝ 而这个圆的圆周是集合｛P｜｜OP｜=r｝． 这样，就把圆和圆周这两个概念严格区分开来了． 线段AB，可表示为点集 AB＝｛M||AM＋|MB|=|AB|｝ 角∠AOB，可视为由从点O出发的两条射线OA、OB，以及平面被它们划分开的两部分之一的所有点构成的集合．图2—2(a)与(b)中的两个角，虽然它们的顶点和边相同，但却是完全不同的角． Ⅱ．关于几何题的证明 几何中性质命题“若A，则B”，可理解为“具有性质A的某(些)几何元素，是具有性质B的几何元素”． 如果令几何元素(点、直线、图形)x的集合 A=｛x|A(x)｝，B=｛x|B(x)｝ 下面我们用这种观点来说明几何证明中“同一法”的理论依据． 对于性质命题“若A，则B”，如果集合A=｛x| A(x)｝是单元素集，即具有性质A的几何元素只有一个，就说该命题符合“同一法则”．符合同一法则的几何命题，可以用同一法给以间接证明，其证明的步骤有三： 1° 找出一个几何元素F′∈B(即作出具有性质B的图形F′)； 2° 证明F′∈A(即F′也具有性质A)； 这样，运用同一法的前提条件、证明步骤，都有了充分的理论依据，以前关于同一法则和同一法的一些模糊提法，也得到了澄清． Ⅲ．抽屉原理
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凸函数的性质及应用 _数学与应用数学论文
全文字数:3656 凸函数的性质及应用 1. 引言 凸(凹)函数是一类非常重要的函数,是分析学中的一朵奇葩。它的性质表述的明显性和证明时的技巧性奇妙的结合在一起，可将一个看似复杂的问题，在应用凸函数的性质稍加巧妙构思后，就可以游刃而解了。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上的整体性态不仅可以更加科学，准确的描绘函数图象，而且有助于对函数的定性分析。故在数学与应用数学的诸多分支中有着广泛的应用,特别在误差估量和不等式的证明等方面. 凸(凹)函数在实际运用中的重要性,故有不少学者对它的定义和性质的深入研究和讨论有着浓厚的兴趣.关于凸函数的理论基础主要是由琴生(J.L.W.V.Jensen)于1906年左右奠定的，1987年我国著名数学家李广兴和陈计加强了对琴生不等式的证明，1991年文家金等人又推广了他们的结论。当然在这期间还有很多的数学家和数学爱好者对它的定义，性质，应用进行了深入的研究和讨论，他们研究的主要问题有它的多种等价定义;函数的凸(凹)性;怎样根据函数的凸(凹)性找到函数图象的拐点,作出函数图象; 凸(凹)函数的有界性;（左，右）导数，连续性，以及凸(凹)函数的定积分和极限方面的知识，还有不少数学者延拓了凸(凹)函数在一元函数中的定义，把它放在了一个多元的领域里加以了研讨。 虽然他们的研究方向很多，但没有系统的研究它的性质，以及复合函数的凸性问题和运
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从一道不等式题的证明谈学生创新能力的培养 _数学与应用数学论文
全文字数:2149 从一道不等式题的证明谈学生创新能力的培养 【摘要】 不等式是研究数学问题的重要工具，是培养学生论证能力的重要内容。它渗透在高中数学的各个部分，尤其是与函数、复数、三角和几何存在着密切的关系。不等式是数学思想的载体，突出体现了等价转化，函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。本文从一道不等式题的多种证法，引导学生从不同角度，用不同的思维方法解决问题。大大的激发了学生的学习热情，从而培养了学生的创造性思维。 【关键词】不等式 证明 培养 创新能力 培养 问题：a、b、m∈R+ 且a＜b，求证：＞ （方法一）证明：比差法：差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 左-右=-== ① ∵a＜b，a、b、m∈R+ ∴ m（b-a）＞0 b（b+m）＞0 ∴①＞0 即不等式成立 证法二：比商法，商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 左/右= ∵ 0＜a＜b ， 0＜m ma ＜ mb ma+ab＜mb+ab ＞1 ∴ 左/右＞1，即左＞右 ∴ 原不等式成立 证法三：分析法: 分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 ∵a、b、m∈R+ ， 要证明 ＞ ， 只要证 b（a+m）＞a（b+m） 即证 ab+mb＞ab+am 即证mb ＞ma 即证 b＞a 显然成立，∴ 原不等式成立 证法四：综合法 综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1B2B3…BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 ∵ 0＜a＜b， 0＜m ∴ma ＜ mb ∴ ma+ab＜mb+ab ∴ a(b+m) ＜b(a+m) ∴ ＞ ∴原不等式成立 证法五：反证法 反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 假设不大于，即 ≤ （1） ＜ b(a+m) ＜a(b+m) mb+ab ＜ma+abmb＜mab＜a 同理可由=b=a 与已知 a＜b 矛盾 ∴原不等式成立 证法六：换元法换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。 设=k则a=kb 又∵a、b、m∈R+ 且a＜b ∴0＜＜1即0＜k＜1 ∴＞1 ＞m 则有b+＞b+m＞1 即＞k= 证法七：函数法（利用函数的单调性） 设f（x）= （分离常数法） ∵ 0＜a＜b ∴a-b ＜0 ∴f（x）在[-b，+]上是增函数， 即当x=m＞0时f（m）＞f（0）， ∴＞ 证法八：等比定理： ∵a、b、m∈R+ ，设=（n∈R+） 又∵ a＜b ∴n＜m 即 ==＜ 说明：对于等式两边是分式时，等比定理往往是解决这一问题的一个很好的方法。 证法九：斜率法 （1）将看作直角坐标系内两点A（-m，-m） ，B（b，a） ∵ 0＜a＜b ， 0＜m B点位于第一象限内y=x的直线上方。 ∴ KAB＞KOB 又 ∵KAB= KOB = ∴＞ （2）取任意点A（m，m），B（b，a） a＜b ∴AB的中点C（） 由OA、OB、OC斜率关系为KOB＜KOC＜KOA 故得＜＜1 证法十：定比分点 ∵ = ①
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海涅定理及其推广和应用 _数学与应用数学论文
全文字数:4289 海涅定理及其推广和应用 本文叙述了海涅定理的两种形式，揭示了变量变化的整体与部分的联系，在某种条件下，数列极限和函数极限可以相互转换．并对海涅定理进行了推广，给出了海涅定理条件减弱之后的等价命题，作出了新的证明．相应地海涅定理可表示为更强的形式，从而对论证某些函数极限的存在性会更方便，处理函数极限问题时更加方便实用，本文还说明了海涅定理在具体问题中的应用。 一、引言 在极限理论中,有一个重要的定理 —海涅定理,它深刻地揭示了变量变化的整体与部分,连续与离散之间的联系,从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以相互沟通的“桥梁”.在某种条件下,数列极限与函数极限可以相互转换.根据海涅定理的必要性,可将函数极限化为函数值数列的极限,根据海涅定理的充分性,又能将数列极限的性质转移到函数极限上来.在极限理论和运用中,占有非常重要的地位. 不同的教科书对海涅定理的叙述有所差异,本文叙述了海涅定理的两种形式,通过分析定理1的含义指出了变量离散变化与连续变化之间的内在联系,即变量变化的整体与部分,连续与离散之间的联系，从而成为将数列极限问题与函数极限问题相互沟通,相互转化的“桥梁”,这是海涅定理在函数极限理论中起着极为重要的原因之一,通过分析定理2,我们知道海涅定理的这两种形式从根本上说是相同的,但大同中有小异:前一种表述明确地指出了极限值是A,后者没有.因而这两种表述各具特色:前者具体,后者抽象,更有概括性.
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递推关系的解法研究 _数学与应用数学论文
全文字数:3283 递推关系的解法研究 [摘 要] 递推关系是组合论中的重要内容，几乎在一切数学分支中都有应用，如何解递推关系，又是递推关系中的重要问题，事实上并没有一般法则能使我们解出所有的递推关系，我们只是对极少数的几类递推关系得到一般解法。递推关系可以用普通的迭加方法，公式法以及生成函数法研究。 [关键词] 递推关系、斐波那契递归、线性齐次递推关系、非齐次递推关系、生成函数 递推关系是组合论中的重要内容，几乎在一切数学分支中都有应用，如何解递推关系，又是递推关系中的重要问题，事实上并没有一般法则能使我们解出所有的递推关系，一、简单的递推关系： 算术序列，hn=hn-1+q. 几何序列，hn=h（n-1）q. 可以用普通的迭加方法 满足递推关系和初始条件 fn=fn-1+ fn-2 (n≥2) f0=0, f1=1 的数列 f0, f1,f2,f3,…叫做斐波那契序列，序列的项叫做斐波那契数，式中的递推关系叫做斐波那契递归。 现在的目标是得到斐波那契数的公式，并为此叙述求解递推关系的技巧, 考虑在形式 Fn－fn-1－fn-2=0 (n≥2) 下斐波那契递推关系，先忽略f0 和f1的初始值。解决这个递推关系的一种方法是寻找形式为 fn=qn 的一个解，其中q是一个非零数。因此，在第一项等于q0=1 的几何序列种寻找一个解。我们观察到，fn=qn满足斐波那契递推关系当且仅当 qn－qn-1－qn-2＝0 或等价地 qn-2(q2－q－1)=0 (n=2,3,4,......) 由于假设q异于零，我们断言fn=qn是斐波那契递推关系的解当且仅当q2－q－1=0 和 两者都是斐波那契递推关系的解。由于斐波那契递推关系是线性的和齐次的。通过直接计算得到 对于任意选择的常数和，上式也是递推关系的解 二、线性齐次递推关系 令 h0,h1,h2,…,hn,… (1) 是一个数列。如果存在量A1,a2,…,ak, ak≠0和量bn(每一个量都可能依赖于n)的 hn=a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k+bn(n≥k) (2) 则称该数列满足k阶线性递推关系. 解常系数线性齐次递推关系，即如 hn=a1hn-1+a2hn-2+…+akhn-k (n≥k) (3) 其中A1,a2,…,ak是常数且ak≠0的递推关系的一种特殊方法。 递推关系可以重写为形式 hn－a1hn-1－a2hn-2－…－akhn-k＝0 (n≥k) (4) 一旦所谓的初始值即H0,h1,h2,…,hn,…能够给出，则满足递推关系(或更一般地，满足（2）的数列) h0,h1,h2,…,hn,…就被唯一的确定。递推关系(74)从n=k开始“解开”。忽略初始值并在没有给出初始值，通过考虑那些形成几何序列的解并通过适当的修改它们来找到“足够”的解 线性齐次递推关系的求解，可按照离散函数所采用的与指数函数的作用类似的方法进行，其中，只对非负整数n(有几何序列)有定义. 定理： 令q为一非零数。则Hn 是常系数线性齐次递推关系 Hn－a1hn-1－a2hn-2－…－akhn-k＝0 (ak≠0，n≥k) （5） 的解，当且仅当qn是多项式方程 Xk－a1xk-1－a2xk-2―...―ak=0 (6) 的一个根。如果多项式方程有k个不同的根q1,q2,.....,qk, 则 Hn=c1qn1+c2q2n+ ....... +ckqnk (7) 是下述意义下式(5)的一般解：无论给定h0,h1,....,hk-1什么初始值，都存在常数c1,c2,.....ck，使得公式(7)是满足递推关系(5)和初始条件的唯一的序列。 多项式方程(6)叫做递推关系(5)的特征方程，而它的k个根叫做特征根。根据定理，如果特征根互异，那么式(7)就是式(5)的一般解。 例 求解满足初始值H0=1,h1=2和h2=0,和的递推关系 Hn= 2hn-1+hn-2－2hn-3 (n≥3)
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高等数学中部分极限求法 _数学与应用数学论文
全文字数:2409 高等数学中部分极限求法 极限是微积分中最基本、最重要的概念,它从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势.用极限作工具求一个量时,先用己知方法求这个量的近似值,然后在某一个无限变化过程中,考察近似值的变化趋势,从而根据近似值的变化趋势确定出这个量的精确值.这种在无限变化过程中考察变量的变化趋势的思想就是极限思想。极限是高等数学的研究工具，贯穿始终，因此正确理解极限概念，熟练掌握求极限的方法对学习高等数学起着关键性的作用。 一 、数列极限的求法 1、 求和极限法 当数列是以前n项和的形式给出时，先对数列进行求和再求出其极限。
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对称性在积分中的应用 _数学与应用数学论文
全文字数:2048 对称性在积分中的应用 【摘要】本文研究的目的是针对几何性质与图形、运算在积分中的应用，利用对称性来简化解决问题的过程。给出了奇函数和偶函数的定义，讨论了利用函数的奇偶性求解定积分、重积分、线积分、面积分等积分。在利用对称性求解积分问题时，一般分为以下两种情况:一是积分区域具有某种对称性，可直接利用对称性对问题进行求解；另一种情况就是积分区域不具有某种对称性，或所具有的对称性不明显，对此应用转化的方法，根据问题特点来构造对称性。在求解问题的过程中，如果能充分考虑问题的对称性并利用它，往往会做到事半功倍的效果。 【关键词】 奇函数和偶函数；对称性；积分 【Abstract】The purpose of this text research is to aim at several the property and sketch, operation is in the application in the integral calculus and make use of symmetry to simplify problem-solving process. Give strange function and even function of definition, discussed to make use of function of strange accidentally sex solve definite integral, heavy integral calculus’s, such as integral calculus, line integral calculus and area cent...etc..While making use of symmetry to solve an integral calculus problem, generally is divided into two kinds of following circumstances: on being an integral calculus district to have a certain and symmetry, can directly make use of symmetry to carry on solving to the problem; Another circumstance is an integral calculus district don't have a certain and symmetry, or the symmetry had isn't obvious, to this method that applies a conversion, construct symmetry according to the problem characteristics. In the process of solving a problem, if can well consider the symmetry of problem and make use of it, usually attain the effect of half effort and double results. 【Key words】strange function and even function；symmetry；Integration 一、奇函数和偶函数 若，有= ，则称是偶函数。其函数图像关于轴对称。 若，有= ，则称是奇函数。其函数图像关于原点对称。 若，有= ，则称是上关于的偶函数。 若，有= ，则称是上关于的奇函数。 二、奇函数和偶函数的积分特点 若是对称区域是的偶函数，则有，其中，区域是区域的对称一半。 若是对称区域是的奇函数，则有，其中。 说明：及被赋予具体的含义时，就表示定积分、重积分、线积分、面积分等不同的积分，下面将具体讨论利用对称性求解积分问题的做法。 三、对称性在中的具体应用 1、，是上的一元函数，则=，且有=2，当是偶函数。
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递推关系的解法研究1 _数学与应用数学论文
全文字数:4870 递推关系的解法研究 [摘 要] 递推关系的研究是研究数列问题的重要方面，递推关系的解法多种多样，有比较初等和灵活的方法，如逐差叠加法，通项代换法等；也有相对比较通用的递推解法，如母函数法。随着人们对递推关系的深入研究，形成了相当多的类型，如线性递推，双线性递推等等。有了这些类型的深入研究，让递推关系的应用更方便，也使得其应用的领域得到扩张。 [关键词] 递推关系、线性递推、母函数 在研究一个数列时，我们如果想要比较方便的获取该数列的某一项的值到底是多少时，往往需要去探索该数列的通项，而有些时候一个数列的通项并不是那么容易的直接得到，而能够比较直接的得到相邻几项的一个关系式，那我们也可以通过该种关系进行递推，进而得到所需项的值。这种相邻项之间的关系就是我们常常所说的数列的递推关系，因此要进行数列的研究，递推关系的研究是一个重要的方面。下面是我的一些求解数列递推关系的一些探索与认识。 递推关系的形式多种多样，在解决一个个递推问题的过程中，人们总结出了一些实用的解决递推关系的方法。
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对二元复合函数及其性质的探讨 _数学与应用数学论文
全文字数:2127 对二元复合函数的探讨 [摘要]本文对二元复合函数加以分类，并对其极限，连续，可微，可积等性质进行探讨。 [关键词]二元复合函数 极限 连续 可微 可积 复合函数贯穿于微积分的始终，其导数和积分在微积分中占有相当重要的地位。二元复合函数是复合函数的一种，将一元复合函数的概念类推至二元复合函数，可得许多类似于一元复合函数的结论，同时在现实生活中也确实存在着许多变量间相互依存的“链式关系”，因此无论从理论或者实践的角度看，研究二元复合函数及其性质都是非常必要的。 一、二元复合函数的概念及分类 1.复合函数的概念：设函数 而 且 则是以为内函数，为外函数的复合函数。 2.分类 本文主要针对复合结果为二元函数的复合函数进行分类 （1）外函数为一元函数，内函数为二元函数， （2）外函数为二元函数， a：中间变量均为一元函数，即内函数均为一元函数. b：中间变量均为二元函数，即内函数均为二元函数 c：中间变量既有一元又有二元函数， （3）外函数为n（n大于等于3）元函数，内函数为分别含有不同自变量的一元函数或至少有一个二元函数。 二、二元复合函数的性质 1．极限 1．1一般情形 （1）中间变量均为一元函数的情形 定理1 如果函数，当时，极限存在且为a，当时极限存在且为b而函数在点处连续，则复合函数，当时，极限存在等于 证明：对在点处连续, ∴, ，
