商品期货价格的期限结构是指商品期货价格与不同的到期期限的关系。因为期限结构综合了市场上所有能够获得的信息和操作者对将来的预期，因此，它为套期保值与投资决策提供了非常有用的信息，从而有利于现货市场的风险管理。市场可据此调整现货的存货水平和生产率，同时利用这些信息来进行套利交易，并以此给期货合约进行定价。 近年来，随着市场日趋成熟，期货合约的到期期限不断延长。例如，1997年美国原油市场的期货期限已达到七年之长。但在大多数的商品市场中，这类期货的价格是以远期价格给出的，由于远期合约并不是标准化的合约，而且它的价格也不是以公开竞价的方式获取，所以，以远期价格给期货定价是不合理的。商品期货价格的期限结构理论主要就是要解决不同到期期限的商品期货的定价问题。 一、期限结构理论的起源与发展 （一）现货与期货价格关系的传统理论 1930年凯恩斯提出正常现货升水理论。该理论认为在正常情况下，远期价格低于现货价格(即现货升水)，因此，他假设套期保值者倾向于做空头，而投机者倾向于做多头。期货价格与到期期货现价之间存在一个正的风险溢价，它是对投机者承担的风险的补偿，而投机者只有在预期期货价格上涨的情况下，才会买进期货。但是，Dusak（1973），Bodie and Rosanky（1980），Richard and Sudaresan（1981），以及Bessembinder（1993）等通过实证研究发现，对于同样的期货市场和不同的到期期限，既存在现货升水，也存在远期升水。为了进一步解释商品市场上期货价格与现货价格的关系， Kaldor（1939）提出了便利收益的概念，从而创立了存储理论。Brenna（1958）指出便利收益C与现货价格S正相关且是存货水平的反函数。从传统的存储理论可得到三个结论：(1)期货价格至少受三个变量，即现货价格、便利收益和利率的影响；(2 )C和S正相关且是储存水平的反函数；(3)便利收益具有不对称性，当期货升水时，便利收益不超过储存成本且比较稳定，但当现货升水时，便利收益没有此限制且波动大。 （二）期限结构的延长 从1930年到1960年，期货市场上的交割期限一般不超过一年。随着市场的发展，商品期货合约的期限也不断延长，但传统理论无法准确地解释较长期限的期货价格与现货价格的关系。 凯恩斯认为，当考虑较长期限的价格曲线时，沿着该曲线会出现现货升水和期货升水并存，这一现象是由于市场上对于某一到期期限的期货的供求不平衡造成的，为了缓和这种不平衡，市场就会将风险溢价补偿给承担风险的投机者。Modigliani and Sutch（1966）指出商品期货价格的期限结构可以看作是由一系列不同到期期限的期货组成，市场参与者根据自己的需要选择不同到期期限的期货。而存储理论则用商品供求的季节性变化来解释商品期货期限延长后现货升水和期货升水并存的期限结构，但是，季节性因素不是偶然的也不是不可预测的。 为此，Gabillon（1995）指出随着期限的延长，必须引进新的用于解释期限结构的变量。他从研究原油价格的期限结构出发，把原油价格的期限结构划分为两个不同的部分：第一部分是较短期限部分(第1个月到第18个月)，这一部分主要用于套期保值，解释这部分价格关系的变量主要有产量、消费和存货水平。第二部分是较长的期限部分，这一部分是用于投资目的，解释这部分价格关系的变量是利率、期望通胀率和竞争性能源的价格，从而得出了不同的期限结构有不同的解释变量的结论。上述这些对延长的期限结构的研究比凯恩斯正常现货升水理论更自然合理，从而使得期限结构的研究分析脱离了凯恩思理论框架。 （三）期限结构的动态分析 萨谬尔森（1965）提出，期货价格的方差和期近的期货价格与期远的期货价格的相关程度随到期期限的延长而下降，短期合约的价格波动大而不稳定，但从长期来看，期货价格相对稳定，这就是著名的萨谬尔森效应。萨谬尔森认为短期期货价格波动大是由于实物市场的供求波动引起的，Anderson（1985）、Milonas（1986）、Fama and French（1987）等从大量的商品和金融资产研究出发，对此进行了实证支持。Deaton and Laroque（1992，1996）和Bailey（1996）也证明了萨谬尔森效应是存储成本的函数，即高的存储成本则价格波动较小。但是，Fama and Fench （1988）在其研究中却发现存货较高时，萨谬尔森效应不明显。为了进一步研究期货价格的动态结构，Cortazar and Schwartz（1994）、Tolmasky and Hindanov（2002）和Lautier（2005）等应用主成分分析法来研究期限结构。由于引入主成分分析法后，计算每一种变量对期货价格波动的贡献成为可能，因此，他们通过计算发现，原油和铜期货价格波动的99%是由现货价格和便利收益的变化引起的。 二、期限结构理论的建模分析 为商品期货衍生物定价的标准建模过程遵循期权和利率理论中的或有权益分析。商品期货价格的期限结构模型基于三个假设：(1) 市场无磨擦、无税收及交易成本；(2 )连续交易；(3)借贷利率相等且无卖空的限制。一般而言，由于期货价格是状态变量(时间和到期时间)的函数，运用伊滕引理就应该能得到期货价格的动态模型。但是利率理论框架并不能直接运用到商品期货定价中来，因为利率理论的定价原理，是在完全市场的假定下，在风险中性条件下，由无套利机会决定均衡价格的形成。而商品期货市场是不完全市场，实物资产市场上的套利机会远远不及大多数金融资产市场，所以给商品期货衍生物定价不可能在风险中性条件下实现。Brenna and Schwartz（1985）、Gibson and Schwartz（1989，1990）、Brenna（1991）和Gabillon（1992，1995）等认为现货价格遵循几何布朗运动，并据此提出了他们的单因素模型，其中最著名的单因素模型当属Brenna and Schwartz模型： ，该模型表明：t时刻的现货价格S与先前的现货价格变动无关，漂移率u 代表价格的进化。当存货较低时，S则高，这说明市场需求的任何变化对现货价格都会造成强烈的影响，因为存货不足以吸收价格的波动。 Brenna and Schwartz 模型是最简单的商品期货价格的期限结构模型，但Schwartz（1997）、Cortazar and Schwartz（1997）和Routledge Seppi and Spatt（2000）等在他们的研究中发现几何布朗运动实际上并不是最好的描述价格动态的方法，运用存储理论和萨谬尔森效应中的均值回转过程更有意义。因此，他们在单因素模型中都保留了均值回转过程。这些模型中最具代表性的是Schwartz模型：，该模型表示现货价格围绕长期均衡价格波动，调整速度k保证现货价格S总能回到长期均值u。虽然这一模型比Brenna and Schwartz（1985）模型优越，但它不能象存储理论那样解释期货升水和现货升水并存的现象。 因此，Schwartz and Cortazar（1997）在他们的模型中除继续保留了中值回转过程外，提出把便利收益作为第二状态变量，从而提出了双因素模型。在该模型中，不仅保留了均值回转过程，而且便利收益也遵循均值回转过程。该模型可以很好地解释期货升水和现货升水并存的现象，但它不能解释商品市场上价格的波动与现货升水的程度是正相关的。为此，Lautier and Galli（2001）提出了一个新的双因素模型，在该模型中便利收益仍然遵循均值回转过程，且便利收益具有不对称性，当存货较少时，由于现货升水，便利收益高而不稳定；当存货较多时，便利收益则低且稳定。 双因素模型是1992年Gabillon（1992）提出来的。该双因素模型中，假定现货价格和长期价格正相关，便利收益是内生变量，现货价格和长期价格为状态变量，且长期价格遵循几何布朗运动。（这个模型说明什么？为什么后面要进行修改）然后，Schwartz and Smith （2000）在该双因素模型基础上进行了改进（为什么Schwartz要对这个双因素模型进行修改，而不修改自己的双因素模型？），提出了一个新的双因素模型，该模型把现货价格分为短期变动和长期均衡两部分：短期价格波动假设遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，而均衡价格则假设遵循普通布朗运动过程。短期价格的波动是由天气变化，供求状况引起的，可以通过调整存货水平加以缓和，但长期价格主要是由生产率，通货膨胀和政治因素决定的，因而较为稳定。该模型最大的优势是避免讨论便利收益，问题是现货价格的短期变动和长期均衡这两个变量不能直接观察到，只能从现货和期货价格中估计得到。 直到1997年，每一个期限结构模型都假定利率是一常数。在1997年Schwartz提出一个包括S,C和利率r三个变量的三因素模型，并且假定利率遵循均值回转过程。从1997年开始，几个三因素模型被提出，最后在2003年Schwartz and Cortaza提出了一个著名的三因素模型，在这个模型中作者把长期现货价格回报作为第三个风险因素,且认为它遵循均值回转过程，其它的两个状态变量是现货价格和便利收益，便利收益短时的变动是因为存货水平的变动，然而长期现货价格回报的变动是由于生产技术,通货膨胀或社会需求的变化引起的。.在实际中，引进第三个参数能够改进模型的性能，使之能更加精确地描述期货价格曲线的演进过程。 三、期限结构模型的实证方法与实证结果 为了估计商品期货的价格，比较估计价格与实际价格的差异，以便评价模型的性能，必须选取一些参数值（来做什么？）。Schwartz（1997）运用kalman滤波方法来估计参数。 商品期货价格的期限结构模型中的非观察变量包括：现货价格、便利收益和长期均衡价格水平。估计现货的通常方法是将期近的期货价格作为近似值。现货价格被视为非观察变量是因为在大多数的商品市场上缺乏可靠的现货价格的时间序列：实物市场地理区域分散，交易不标准，价格报道机制也不要求交易者揭示他们的交易价格。 便利收益也是一个非观察变量，因为它不是交易资产，对它的近似计算需要两个变量 时的期货价格F和时的期货价格F，计算式为： 最后，长期价格也不是一种交易资产，为了估计它的值，Schwartz and Smith（2000） 提出运用Kalman 过滤的方法可以得到。 Schwartz （1997）指出：参数随研究期限而变化，所以应用期限结构模型时，参数应该定时重新计算。2003年Lautier 又指出参数随到期期限而变化，当便利收益是随机的且遵循均值回转过程，它的调整速度是到期期限的减函数，同时现货价格波动和便利收益波动也随到期期限而递减。 实证结果表明：单因素模型的性能较差，它不适用于大多数商品。Brenna （1991）指出：贵重金属市场便利收益接近于零而工业品市场的便利收益为正，这种现象是由于操作者持有贵重金属和工业品的不同的动机造成的，操作者持有贵重金属本质上是为了投机目的，这样存货水平高而存储成本低，所以便利收益接近于零，故单因素模型适用于贵重金属市场而不适用于工业品市场。Schwartz（1997）证实了上述实证结果，他认为现货价格均值回转过程的假设是有效的，实证结果表明，该动态模型适用于原油市场，铜市场和工业品市场，但该动态模型不适用于黄金市场。 Brenna（1991） ， Schwartz（1997）， Schwartz and Smith（2000）经过实证研究发现：双因素模型比单因素模型更有优势，引进第二个状态变量后，模型的性能得到了很大的改善，同时均值回转过程也适合描述便利收益的动态变化，实证结果表明：通过模型得到的期限结构曲线与实际观察到的期限结构曲线吻合得较好。Lautier and Galli（2001） 认为引进不对称便利收益也改进了模型的性能。 Schwartz（1997 ）通过实证研究指出出，双因素模型与三因素模型很相似（要说详细一些，不能一句话）。 四、结论 商品期货价格的期限结构模型通常被设想为一个局部均衡的框架，模型中状态变量的选取通常是基于传统的现货升水和存储理论，这使得状态变量的选择具有很大的随意性。在这些期限结构模型中，状态变量是由产量，消费和存储决策决定的内生变量，而且具有现货价格，便利收益或长期价格动态变化的模型被认为是最简化的模型，然而，直到现在，还没有人真正证明了便利收益是一个比长期价格更优的第二状态变量，因为很难对不同的模型进行比较。 有关该领域的研究将会进一步使期限结构理论得到完善，而且商品期货价格的期限结构模型的进一步发展，将会更加准确地描述价格曲线，但模型得到改善的同时，模型本身的复杂程度也会增大。 主要参考文献： 1 Brennan .M.J and E.S. Schwartz. “Evaluating Natural Resource Investment”Journal of Business(1985) 2 Brennan, “The Price of Convenience and the Valuation of Commodity Contingent Claims” (1991) 3 Brennan,,MJ “The Supply of Storage “American Economic Review (1958) 4 Lautier,D..and A .Galli “A Term Structure Model of Commodity Price with Asymmertrical Behaviour of the Convenience Yield” Fineco(2001) 5 Gabillon,J . “The Term Structure of Oil Futures Prices”Working paper,Oxford Instiute for Energey Studies (1992) 6 Kaldor,N “A Note on the Theory of the Forward Market”Review of Economic Studies(1939) 7 Lautier “The term structure of Crude Oil Future Prices:A Principal Component Analysis” Banque forthcoming (2005) 8 Modigliani.F and R. Sutch “Innovations in Interest Rate Policy” American Economic Review (1966) 9 Gabillon “Analysing the Forward Curve” In Managing Energy Price Risk London :Risk Publications (1995) 10 Schwartz,E.S “The stochastic Behavior of Commodity Price:Implications for Valuation and Hedging” Journal of Finance (1997) 11 Schwartz,E.S.and J.E.Smith. “Short-Term Variation and Long-Term Danamics in Commodity Prices” Management science (2000) 12 Fama.E.F,and K.R.French. “Commodity Futures Prices:Some Evidence of Forecast Power,Premiuns,and the Theory of Storage” Journal of Business (1987）
金融风险理论--从统计物理到风险管理特色及评论 在上一个世纪五十、七十年代的两个时间段，有一些智者提出了“风险的处理和效益的优化”两个现代金融学的中心议题。从此，几乎所有数理金融的理论也都围红绕着这两个基本问题而展开。 金融风险理论--从统计物理到风险管理内容简介 本书的重点是金融风险的控制和管理，为此必须要有可管、可控的指标，有了这些指标，就可以对风险定价，给出合理的模式和方法，所以本书的最后一章，广泛讨论了各种期权的定价和风险管理。这是一本视角、方法都很有特点的书，自始至终贯穿着用实际的证券市场的数据来说明、验证相应的分析结论，用股票市场的指数、外汇市场的交易和国债市场的行情作为实例，因此是有数据支持，令人不感到枯燥的分析。各种不同观点的人，从这本书的分析中都会有所收获。 ~Preface 1 Probability theory: basic notions 1.1 Introduction 1.2 Probability distributions 1.3 Typical values and deviations 1.4 Moments and characteristic function 1.5 Divergence of moments-asymptotic behaviour 1.6 Gaussian distribution 1.7 Log- Normal distribution 1.8 Levy distributions and Paretian tails 1.9 Other distributions (*) 1.10 Summary 2 Maximum and addition of random variables 2.1 Maximum of random variables 2.2 Sums of random variables 2.2.1 Convolutions 2.2.2 Additivity of cumulants and of tail amplitudes 2.2.3 Stable distributions and self-similarity 2.3 Central limit theorem 2.3.1 Convergence to a Gaussian 2.3.2 Convergence to a Levy distribution 2.3.3 Large deviations 2.3.4 Steepest descent method and Cram~~r function (*) 2.3.5 The CLT at work on simple cases 2.3.6 Truncated L6vy distributions 2.3.7 Conclusion: survival and vanishing of tails 2.4 From sum to max: progressive dominance of extremes (*) 2.5 Linear correlations and fractional Brownian motion 2.6 Summary 3 Continuous time limit, Ito calculus and path integrals 3. I Divisibility and the continuous time limit 3.1.1 Divisibility 3.1.2 Infinite divisibility 3.1.3 Poisson jump processes 3.2 Functions of the Brownian motion and Ito calculus 3.2.1 Ito's lemma 3.2.2 Novikov's formula 3.2.3 Stratonovich's prescription 3.3 Other techniques 3.3.1 Path integrals 3.3.2 Girsanov's formula and the Martin-Siggia-Rose trick 3.4 Summary 4 Analysis of empirical data 4.1 Estimating probability distributions 4.1.1 Cumulative distribution and densities - rank histogram 4.1.2 Kolmogorov-Smirnov test 4.1.3 Maximum likelihood 4.1.4 Relative likelihood 4.1.5 A general caveat 4.2 Empirical moments: estimation and error 4.2.1 Empirical mean 4.2.2 Empirical variance and MAD 4.2.3 Empirical kurtosis 4.2.4 Error on the volatility 4.3 Correlograms and variograms 4.3.1 Variogram 4.3.2 Correlogram 4.3.3 Hurst exponent 4.3.4 Correlations across different time zones 4.4 Data with heterogeneous volatilities 4.5 Summary 5 Financial products and financial markets 5.1 Introduction 5.2 Financial products 5.2.1 Cash (Interbank market) 5.2.2 Stocks 5.2.3 Stock indices 5.2.4 bonds 5.2.5 Commodities 5.2.6 Derivatives 5.3 Financial markets 5.3.1 Market participants 5.3.2 Market mechanisms 5.3.3 Discreteness 5.3.4 The order book 5.3.5 The bid-ask spread 5.3.6 Transaction costs 5.3.7 Time zones, overnight, seasonalities 5.4 Summary 6 Statistics of real prices: basic results 6.1 Aim of the chapter 6.2 Second-order statistics 6.2.1 Price increments vs. returns 6.2.2 Autocorrelation and power spectrum 6.3 Distribution of returns over different time scales 6.3.1 Presentation of the data 6.3.2 The distribution of returns 6.3.3 Convolutions 6.4 Tails, what tails？ 6.5 Extreme markets 6.6 Discussion 6.7 Summary 7 Non-linear correlations and volatility fluctuations 7.1 Non-linear correlations and dependence 7.1.1 Non identical variables 7.1.2 A stochastic volatility model 7.1.3 GARCH(I,I) 7.1.4 anomalous kurtosis 7.1.5 The case of infinite kurtosis 7.2 Non-linear correlations in financial markets: empirical results 7.2.1 Anomalous decay of the cumulants 7.2.2 Volatility correlations and variogram 7.3 Models and mechanisms 7.3.1 Multifractality and multifractal models (*) 7.3.2 The microstructure of volatility 7.4 Summary 8 Skewness and price-volatility correlations 8.1 Theoretical considerations 8.1.1 Anomalous skewness of sums of random variables 8.1.2 Absolute vs. relative price changes 8.1.3 The additive -multiplicative crossover and the q-transformation 8.2 A retarded model 8.2.1 Definition and basic properties 8.2.2 Skewness in the retarded model 8.3 Price-volatility correlations: empirical evidence 8.3.1 Leverage effect for stocks and the retarded model 8.3.2 Leverage effect for indices 8.3.3 Return-volume correlations 8.4 The Heston model: a model with volatility fluctuations and skew 8.5 Summary 9 Cross-correlations 9.1 Correlation matrices and principal component analysis 9.1.1 Introduction 9.1.2 Gaussian correlated variables 9.1.3 Empirical correlation matrices 9.2 Non-Gaussian correlated variables 9.2.1 Sums of non Gaussian variables 9.2.2 Non-linear transformation of correlated Gaussian variables 9.2.3 Copulas 9.2.4 Comparison of the two models 9.2.5 Multivariate Student distributions 9.2.6 Multivariate L~~vy variables (*) 9.2.7 Weakly non Gaussian correlated variables (*) 9.3 Factors and clusters 9.3.1 One factor models 9.3.2 Multi-factor models 9.3.3 Partition around medoids 9.3.4 Eigenvector clustering 9.3.5 Maximum spanning tree 9.4 Summary 9.5 Appendix A: central limit theorem for random matrices 9.6 Appendix B: density of eigenvalues for random correlation matrices 10 Risk measures 10.1 Risk measurement and diversification 10.2 Risk and volatility 10.3 Risk of loss, 'value at 10.4 Temporal aspects: drawdown and cumulated loss 10.5 Diversification and utility-satisfaction thresholds 10.6 Summary 11 Extreme correlations and variety 11.1 Extreme event correlations . 11.1.1 Correlations conditioned on large market moves 11.1.2 Real data and surrogate data 11.1.3 Conditioning on large individual stock returns: exceedance correlations 11.1.4 Tail dependence 11.1.5 Tail covariance (*) 11.2 Variety and conditional statistics of the residuals 11.2.1 The variety 11.2.2 The variety in the one-factor model 11.2.3 Conditional variety of the residuals 11.2.4 Conditional skewness of the residuals 11.3 Summary 11.4 Appendix C: some useful results on power-law variables 12 Optimal portfolios 12.1 Portfolios of uncorrelated assets 12.1.1 Uncorrelated Gaussian assets 12.1.2 Uncorrelated 'power-law' assets 12.1.3 Exponential' assets 12.1.4 General case: optimal portfolio and VaR (*) 12.2 Portfolios of correlated assets 12.2.1 Correlated Gaussian fluctuations 12.2.2 Optimal portfolios with non-linear constraints (*) 12.2.3 'Power-law' fluctuations - linear model (*) 12.2.4 'Power-law' fluctuations - Student model (*) 12.3 Optimized trading 12.4 Value-at-risk- general non-linear portfolios (*) 12.4.1 Outline of the method: identifying worst cases 12.4.2 Numerical test of the method 12.5 Summary 13 Futures and options: fundamental concepts 13.1 Introduction 13.1.1 Aim of the chapter 13.1.2 Strategies in uncertain conditions 13.1.3 Trading strategies and efficient markets 13.2 Futures and forwards 13.2.1 Setting the stage 13.2.2 Global financial balance 13.2.3 Riskless hedge 13.2.4 Conclusion: global balance and arbitrage 13.3 Options: definition and valuation 13.3.1 Setting the stage 13.3.2 Orders of magnitude 13.3.3 Quantitative 14 Options: hedging and residual risk 14.1 Introduction 14.2 Optimal hedging strategies 14.2.1 A simple case: static hedging 14.2.2 The general case and 'A' hedging 14.2.3 Global hedging vs. instantaneous hedging 14.3 Residual risk 14.3.1 The Black-Scholes miracle 14.3.2 The 'stop-loss' strategy does not work 14.3.3 Instantaneous residual risk and kurtosis risk 14.3.4 Stochastic volatility models 14.4 Hedging errors. A variational point of view 14.5 Other measures of risk-hedging and VaR (*) 14.6 Conclusion of the chapter 14.7 Summary 14.8 Appendix D 15 Options: the role of drift and correlations 15.1 Influence of drift on optimally hedged option 15.1.1 A perturbative expansion 15.1.2 'Risk neutral' probability and martingale s 15.2 Drift risk and delta-hedged options 15.2.1 Hedging the drift risk 15.2.2 The price of delta-hedged options 15.2.3 A general option pricing formula 15.3 Pricing and hedging in the presence of temporal correlations (*) 15.3.1 A general model of correlations 15.3.2 Derivative pricing with small correlations 15.3.3 The case of delta-hedging 15.4 Conclusion 15.4.1 Is the price of an option unique？ 15.4.2 Should one always optimally hedge？ 15.5 Summary 15.6 Appendix E 16 Options: the Black and Scholes model 16.1 Ito calculus and the Black-Scholes equation 16.1.1 The Gaussian Bachelier model 16.1.2 Solution and Martingale 16.1.3 Time value and the cost of hedging 16.1.4 The Log-normal Black-Scholes model 16.1.5 General pricing and hedging in a Brownian world 16.1.6 The GREEKS 16.2 Drift and hedge in the Gaussian model (*) 16.2.1 Constant drift 16.2.2 Price dependent drift and the Omstein-Uhlenbeck paradox 16.3 The binomial model 16.4 Summary 17 Options: some more specific 17.1.3 Discrete dividends 17.1.4 Transaction costs 17.2 Other types of options 17.2.1 'Put-call' parity 17.2.2 'Digital' options 17.2.3 'Asian' options 17.2.4 'American' options 17.2.5 'Barrier' options (*) 17.2.6 Other types of options 17.3 The 'Greeks' and risk control 17.4 Risk diversification (*) 17.5 Summary 18 Options: minimum variance Monte-Carlo 18.1 Plain Monte-Carlo 18.1.1 Motivation and basic principle 18.1.2 Pricing the forward exactly 18.1.3 Calculating the Greeks 18.1.4 Drawbacks of the method 18.2 An 'hedged' Monte-Carlo method 18.2.1 Basic principle of the method 18.2.2 A linear parameterization of the price and hedge 18.2.3 The Black-Scholes limit 18.3 Non Gaussian models and purely historical option pricing 18.4 Discussion and extensions. Calibration 18.5 Summary 18.6 Appendix F: generating some random variables 19 The yield curve 19.1 Introduction 19.2 The bond market 19.3 Hedging bonds with other bonds 19.3.1 The general problem 19.3.2 The continuous time Ganssian limit 19.4 The equation for bond pricing 19.4.1 A general solution 19.4.2 The Vasicek model 19.4.3 Forward rates 19.4.4 More general models 19.5 Empirical study of the forward rate curve 19.5.1 Data and notations 19.5.2 Quantities of interest and data analysis 19.6 Theoretical considerations (*) 19.6.1 Comparison with the Vasicek model 19.6.2 Market price of risk 19.6.3 Risk-premium and the law 19.7 Summary 19.8 Appendix G: optimal portfolio of bonds 20 Simple mechanisms for anomalous price statistics 20.1 Introduction 20.2 Simple models for herding and mimicry 20.2.1 Herding and percolation 20.2.2 Avalanches of opinion changes 20.3 Models of feedback effects on price fluctuations 20.3.1 Risk-aversion induced crashes 20.3.2 A simple model with volatility correlations and tails 20.3.3 Mechanisms for long ranged volatility correlations 20.4 The Minority Game 20.5 Summary Index of most important symbols Index~
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