[量化金融] 二叉树方法与美式网格的显式差分格式 [推广有奖]

根据齐性（定理7.1），我们有c（S，E；r，q；n）=maxρn[（1）- α） c（S，E；r，q；n+1）+α（anc（Su，E；n+1）+（1- n+1]，（S）- （E）+= 最大值(1 - α） ρnc（S，E；r，q；n+1）+αanuρnc（S，Ed；n+1）+（1）- dρnc（S，Eu；n+1）, （S）- （E）+= 最大值(1 - α） ρnηnρnc（S，E；r，q；n+1）+αanuρnc（S，Ed；n+1）+（1）- dρnc（S，Eu；n+1）, （S）- （E）+= 最大值(1 - α） ηnc（S，E；r，q；n+1）+（1）- α） qn- rnρnαxσnc（S，E；r，q；n+1）+αanuρnc（S，Ed；r，q；n+1）+（1）- an）dρnc（S，Eu；r，q；n+1）, （S）- （E）+.（考虑方程（7.7）和（7.8））=max(1 - α） ηnc（S，E；r，q；n+1）+α1.- ηnc（S，Ed；r，q；n+1）+ηnc（S，Eu；r，q；n+1）, （S）- （E）++ O(xδ（考虑归纳假设）=maxηn[（1）- α） p（E，S；q，r；n+1）+α（1- an）p（Ed，S；q，r；n+1）+anp（Eu，S；q，r；n+1）），（S）- （E）++ O(xδ=maxηn[（1）- α） p（E，S；q，r；n+1）+α（anp（Eu，S；q，r；n+1）+（1- an）p（Ed，S；q，r；n+1）），（S- （E）++ O(xδ）=p（E，S；q，r；n）+O(xδ）。因此我们证明了下面的定理。定理7.2（显式差分格式中的调用-输出奇偶性）c（S，E；r，q；n）=p（E，S；q，r；n）+O(xδ）。这里δ表示为（7.6）。定理7.3假设r（t）/σ（t）在t上递减，q（t）/σ（t）在t上递增，那么美式看涨期权的价格c（s，E；r，q；tn）在t上递减，忽略O(x） ，即c（S，E；r，q；tn）≥ c（S，E；r，q；tn）-1） +O(xδ）。32 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim证明t的减少是通过定理4.2和定理7.2得到的。c（S，E；r，q；tn）=p（E，S；q，r；tn）+O(xδ）≥ p（E，S；q，r；tn+1）+O(xδ）=c（S，E；r，q；tn+1）+O(xδ）第一个和最后一个等式来自定理7.2，不等式来自定理4。2.备注7.2请注意，与看跌期权不同，看涨期权平价和T减损性仅通过忽略极小值获得。

现在我们考虑显式差分格式的近似最优运动边界的存在性。定理7.4假设q（t）>0，r（t）/σ（t）在t上递减，q（t）/σ（t）在t上递增。对于每0≤ N≤ N- 1.存在jn∈ 就是这样≥ jn=> Unj=аj；j=jn- 1.=> Unj>аj+O(xδ）；J≤ jn- 2.=> Unj≥ ~nj.j≥ J≥ ··· ≥ jN-1.（7.9）证明首先，我们证明n=n的情况-1.~nj=（瑞典元）十、-E） +在j上增加。LetK=min{j∈ Z:Sej十、- E>0}。然后≥ K=> νj>0，j≤ K- 1.=> νj=0。（7.10）如果j≥ K+1然后是j-1.≥ 坎特塞十、-E>0（i=j+1，j，j-1). 让u=ex、 d=e-x、 那我们就没有了-1j=最大值ρN-1[(1 - α） （Sej）十、- E） +α（aN）-1（Se（j+1）十、- E） ++（1）- 一-1） （Se（j）-1)十、- E） ]Sej十、- Eo=最大值ρN-1[Suj（1- α+α（aN）-1u- (1 - a）d）- E] ，Suj- E= 最大值Suj（1）- α） +α[aN]-1u+（1）- 一-1d）]ρN-1，Suj- E= max{ψj，ψj}这里ψj=Suj（1）-α） +α[aN]-1u+（1）-一-1） d]ρN-1.-EρN-1=BSuj-EρN-1.aN-1ex+（1）- 一-1） e-x=1+（rN-1.- qN-1)xσN-1+O(x） 和qN-1> 0，所以如果x足够小，那么0<B=（1- α） +α[aN]-1u+（1）- 一-1） d]ρN-1=ρN-1.- qN-1αxσN-1+O(x） ρN-1< 1.时间相关系数为33的美式期权的BTM和EDS（此处为SBx图-EρN-1和Sx- E.相交。）那么我们有两种可能性。（i） 情况是J≥ K+1，ψj≤ 在这种情况下J≥ K+1，联合国-1j=φj。因此，从（7.10）开始，我们-1K-1=最大值ρN-1[(1 - α） ~nK-1+α（aN）-1） ~nK-2] ，~nK-1.== 最大值α安-1ρN-1~nK，0> 0=μK-1.从美式期权价格的性质来看，我们有-1j≥ νj，j≤ K- 1.伊凡-1K=j然后让jN-1=如果不存在，则为K-1K>然后让jN-1=K+1。（ii）如J≥ K+1；ψj>ψj。在这种情况下，ψjis的增长速度比ψjand慢，因此存在这样的整数jN-1thatjN-1=最小{j≥ K+1；ψj≤ ~nj}(≥ K+2）。因此，j≥ jN-1.=> 联合国-1j=~njand j=jN-1.- 1.=> ψj>ψjand-UN-1j>~nj.根据美式期权价格的性质，j<jN-1.- 2.=> 联合国-1j≥ ~nj。

因此，jN的存在-1在n=n的情况下- 1.证明。归纳地，假设当n=k+1时，存在这样的jk+1(≥ jk+2）thatj≥ jk+1=> Uk+1j=~nj，j=jk+1- 1.=> Uk+1j>j.回想一下UKJ=maxρk[（1）- α） Uk+1j+α（akUk+1j+1+（1- ak）英国+1j-1） ]j.自从j≥ jk+1+1=> i=j+1，j，j- 1.≥ jk+1=> 英国+1i=英国镑=Sej十、- E、 我们haveUkj=maxρk[（1）- α） νj+α（ak~nj+1+（1- ak）~nj-1） ]j= 最大值ujS1- α+α（aku+（1- ak）d）ρk-Eρk，Suj- E= max{ψj，ψj}。考虑到这一点x+（1）-ak）e-x=1+（rk）- （qk）xσk, qk>0，我们有两种情况，如上所述。（i） 情况是J≥ jk+1+1，ψj≤ 在这种情况下J≥ jk+1+1，Ukj=~njandj=jk+1-1.=> Ukj≥ 英国+1j+O(xδ）>ψj+O(xδ）。因此，如果Ukjk+1>~njthen，则设jk=jk+1+1，如果Ukjk+1=~njthen，则设jk=jk+1。然后满足定理的要求。（ii）以下情况：J≥ jk+1+1：ψj>ψj。由于ψjis的增长速度比ψj慢，因此存在这样一个整数jk，即jk=min{j≥ jk+1+1:ψj≤ ~nj}(≥ jk+1+2）。然后我们有j≥ jk=> Ukj=~nj，j=jk- 1.=> Ukj>аj.来自Americanoption price j的财产≤ jk- 2.=> Ukj≥ 因此证明了jk的存在。（Q.E.D）34 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim备注7.3与看跌期权不同，对于看涨期权，最优行使边界的存在仅来自条件Q（t）>0。如果q（t）=0，则最优运动边界不存在。现在评估接近成熟期的最佳锻炼边界。在定理7.4的第一部分中，我们证明了最优运动边界jN的存在性-1接近成熟。根据这个，我们有K=min{j∈ Z:Sej十、- E>0}和j≥ K+1=> ~nj=Sej十、- E.如定理7.4所示，设ψj=ρN-1[(1 - α） νj+α（aN-1~nj+1+（1）- 一-1） ~nj-1） ]=Suj（1）- α） +α[aN]-1u+（1）- 一-1） d]ρN- 1.-EρN-1.如果J≥ K+1，ψj≤ 我们有-1=Kor jN-1=K+1和thusjN-1.≥ K> jN-1.-2.

所以Se（jN-1.-2)十、≤ E<SejN-1.如果我们设置ec=S，那么我们有jN-1.x+c- 2.十、≤ lne<jN-1.x+c.索恩E≤ jN-1.x+c≤ ln E+2x、 （7.11）如果J≥ K=1，ψj>ψj，我们考虑jN-1=最小{j≥ K+1；ψj≤ ~njandaN-1ex+（1）-一-1） e-x=1+（rN-1.-qN-1） e-x=1+（rN-1.-qN-1)xσN-1+O(x） 。当j≥ K+1，我们有ψj- νj==（1）- α） （ej）x+c- E） +α[aN]-1（e（j+1）x+c- E） +（1）- 一-1） （e（j）-1)x+c）]ρN-1.- （ej）x+c- E） =ρN-1σN-1.tN-1.十、（注册护士）-1E- qN-1ejx+c）xσN-1+O(十）.如果x足够小，那么我们就有ψj>ψj<==> 注册护士-1E>qN-1ejx+c.（7.12）另一方面，j≥ K+1=> ejx+c≥ E和if qN-1> RNQN-1ejx+c≥ 注册护士-1E。所以ψj>ψjis是不可能的，在这种情况下J≥ K+1，ψj>ψj，我们必须有qn-1.≤ 注册护士-1.从（7.12），jN-1=最小{j≥ K+1:ψj≤ ~nj}=min{j≥ K+1:rN-1E≤ qN-1ejx+C和rN-1E≤ qN-1ejN-1.x+c=> jN-1.x+c≥ LNN-1qN-1E。对于j=jN-1.- 1（7.12）保持，然后是rN-1E>qN-1e（jN）-1.-1)x+c=> jN-1.十、- x+c<lnrN-1qN-1E。所以我们有-1qN-1E≤ jN-1.x+c<lnrN-1qN-1E+x、 （7.13）通过将不等式（7.11）和（7.13）结合起来，我们可以得到以下定理，用于评估接近成熟期的近似最优行使边界。具有时间相关系数的美式期权的BTM和EDS 357.5 ln maxnE，rN-1qN-1Eo≤ jN-1.x+c≤ 马克斯内，北卡罗来纳州-1qN-1Eo+2xApproximated最优运动边界修复 和定义ρx（t）如下。ρx=t- tntn+1- 总氮（jn+1）x+c）+tn+1- ttn+1- tn（jn）x+c），t∈ [tn，tn+1]（n=0，·n- 2).然后根据jn的递减性质，我们知道ρx（t）在下降。定理7.6 i）ρx（tN）-1) ∈hln最大值E、 注册护士-1qN-1E, 麦克斯E、 注册护士-1qN-1E+ 2.xiii）ρx（t）在显式差分格式和BTM序列Un=（···，Unj，··）的t.8收敛上减小∞j=-∞, 这包括了点j的所有价格由EDS（4.11）给出的时间Tn的x+c在定理4.1的意义下是有界的。

如果我们∞*（Z）=U=（Uj）j∈Z:Uj（ej）x+c）-1.: 有界, （8.1）kZkl∞*（Z） ：=supj | Uj（ej）x+c）-1 |，（8.2）然后l∞*（Z） 是一个Banach空间andUn=（··，Unj，··）∞j=-∞∈ L∞*（Z） 。（8.3）将（4.11）的右侧写为（FnUn+1）j，即（FnUn+1）j=maxρn{（1）- α） Un+1j+α[anUn+1j]-1+ (1 - an）Un+1j-1] }，~nj, n=n-1, ··· , 1, 0.（8.4）然后操作员映射价格序列Un+1∈ L∞*（Z） 在时间tn+1到价格序列Un=（···，Unj，··）∞j=-∞∈ L∞*（Z） 定义时：Un:=FnUn+1={（FnUn+1）j}∞j=-∞（8.5）的定义。fnn和因此它取决于tn，tn.引理8.1如果0<α≤ 1.xσn注册护士- qn-σn< 1，则Fn在l处增加∞*（Z） 。如果你≤ V（U，V）∈ L∞*（Z） ），然后是FNU≤ FnV。（8.6）在这里≤ 五、<==> Uj≤ Vj，J∈ Z.36 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y.Kim假设我们（1- α) ≥ 0，0<an<1，因此可以很容易地从（8.4）改进。（Q.E.D）引理8.2如果U∈ L∞*（Z） K=（··，K，··）是非负常数序列，然后fn（U+K）≤ FnU+K.（8.7）证明FN（U+K）==最大值ρn[（1）- α） （Uj+K）+α（an（Uj+1+K）+（1- an Uj-1+K））]，Дjj=∞j=-∞≤最大值ρn[（1）- α） Uj+α（anUj+1+（1- an）Uj-1） ]j+ 最大值Kρn，0j=∞j=-∞≤ 我们考虑到ρn>1。（Q.E.D）将近似解定义为扩展函数ux（t，x）。当∈J-x+c，j+x+c, T∈ [tn，tn+1）（j∈ Z、 n=0,1，··，n- 1） 我们定义x（x，t）：=Unj。（8.8）根据这个定义和有界定理（定理4.1），我们得到0≤ Ux（x，t）≤ ejx+cThus我们定义并表示x（o，t）：={ux（x，t）：x∈ R}∈ L∞*（Z） 。对于t∈ [tn，tn+1），n=0，·n- 1.让我们t=t- tntn+1- tntn+1+tn+1- ttn+1- tntn.（8.9）然后t+T∈ [tn+1，tn+2）以及从定义（8.8）和（8.5）来看x（o，t）=Fnux（o，t+t） 。

（8.10）定理8.1（收敛性）假设u（x，t）是call问题（4.3）的粘性解，r（t）/σ（t）在t上减小，q（t）/σ（t）在t上增大，q（t）>0。然后我们有你当十、→ 0.（ii）近似的最佳运动边界ρ当十、→ 时间相关系数为37的美式期权的0.BTM和EDS（该证明被省略，因为它与定理5.2的证明类似。）定理8.2（美式看涨期权价格与最优行使边界的单调性）在定理8.1的假设下，美式看涨期权的连续时间模型（4.1）的价格V（s，t）在s上增加，在t上减少。最优行使边界ρ（t）在t上增加。证明了定理8.1、定理4.1、定理7.4和定理7.6的结论。

（Q.E.D）定理8.3（一致收敛定理）在定理8的假设下。我们有你x（x，t）在[0，t]×的任何紧致子集上一致收敛于u（x，t）(-∞, ∞).（ii）ρx（t）在[0，t]中一致收敛于ρ（t）。证明我们从美式看涨期权价格的单调性、最优行使边界和引理9在368p[12]得出结论。推论美式看涨期权的BTM价格收敛于问题（4.1）的粘性解↓ 1（N）→ ∞).（由于该证明类似于第5节中的看跌期权证明，因此省略了该证明。）参考文献[1]阿明，K.，离散时间跳差期权估值，金融杂志，481993年，1833-1863年。[2] Amin，K.，Khana，A.，从离散到连续时间金融模型的美式期权价值显式差异方案的收敛，数学金融，4:4（1994年10月），289-304。[3] Barles，G.，Daher，C.，Romano M.，金融理论中抛物线方程数值格式的收敛性，应用科学中的数学模型和方法，5:1195125-143。[4] Barles G.，Souganidis，D.E.，完全非线性二阶方程近似格式的收敛性，渐近分析，1:419911971-283。[5] Borovkova，S.A.，Permana，F.J.和J.A.M Van Der Weide，通过简单二叉树进行的美国篮子和价差期权定价，衍生工具杂志，2012年夏季，29-38。[6] Cox，J.，Ross，S.，Rubinstein，M.，期权定价：简化方法，金融经济学杂志，1979年10月，第7期，229-264页。[7] Crandall，M.G.，Ishii，H.，Lions，P.L.，二阶偏微分方程粘性解用户指南，Bull。艾默尔。数学Soc。，1992年2月27日，1-67.38 Hyong chol O，S.G.Jang，I.G.Jon，M.C.Kim，G.R.Kim，H.Y。

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