数学分析习题练习六

求
         $\displaystyle \lim_{x\to+\infty }\frac{1}{x}\int_{0}^{x}|\cos t|dx.$

解：
             $\begin{align*}\lim_{x\to+\infty }\frac{1}{x}\int_{0}^{x}|\cos t|dt&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}|\cos t|dt\\\\&=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos tdt-\frac{1}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos tdt\\\\&=\frac{2}{\pi}.\end{align*}$

        其中利用了周期函数积分性质：
                              $\displaystyle \lim_{x\to+\infty }\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(x)dx.$

                           而
                                 $\displaystyle f(x+T)=f(x).$

                     周期函数积分的常用公式还有：
                                 $\displaystyle \int_{l}^{l+T}f(x)dx=\int_{0}^{T}f(x)dx.$   
        

京都大学2009研究生入学试题


解：
             由原积分区域方程，得
                               $\displaystyle x^2+xy+(\frac{1}{2}y)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}y)^2=a^2,$

                                $\displaystyle (x+\frac{1}{2}y)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}y)^2=a^2,$

                  变量变换
                                 $\begin{cases}
u &= x+\frac{1}{2}y\\
v & =\frac{\sqrt{3}}{2}y,
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}
x &=u-\frac{\sqrt{3}}{3}v\\
y & =\frac{2\sqrt{3}}{3}v,
\end{cases}$

                                 $\displaystyle |J|=|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|=\sqrt{3},$
                得新坐标系下的积分区域为
                                  $\displaystyle u^2+v^2=a^2,$

                      于是，在新坐标系中计算积分，得
                                    $\displaystyle I=\iint_D=\sqrt{3}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{a} \sqrt{a^2-r^2}\cdot rdr =\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi a^3.$

京都大学2009研究生入学试题

京都大学2014年一道积分题


解：
                   $\displaystyle I=\iint_D\frac{|x-y|}{x^2+y^2+1}dxdy=\int_{0}^{+\infty }dx\int_{x}^{+\infty }\frac{y-x}{x^2+y^2+1}dy+\int_{0}^{+\infty }dx\int_{0}^{x}\frac{x-y}{x^2+y^2+1}dy,$

                    $\begin{align*}I_1&=\int_{0}^{+\infty }dx\int_{x}^{+\infty }\frac{y-x}{x^2+y^2+1}dy\\\\&=\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin \theta -\cos \theta )d\theta \int_{0}^{+\infty }\frac{r^2}{r^2+1}dr\\\\&=(\sqrt{2}-1)(+\infty -\frac{\pi}{2}).\end{align*}$

京都大学2016年一道积分题

京都大学2016年一道积分题

京都大学2018年一道积分题


解：
                 利用含参变量积分法
                                 $\begin{align*}I(y)&=\int_{0}^{\infty }\frac{\sin (yx)}{x(x^2+1)}dx\\\\&=\int_{0}^{\infty }(\frac{\sin (yx)}{x}-\frac{x\sin (yx)}{x^2+1})dx\\\\&=\int_{0}^{\infty }\frac{\sin (yx)}{x}dx-\int_{0}^{\infty }\frac{x\sin (yx)}{x^2+1}dx\\\\&=\frac{\pi}{2}-\int_{0}^{\infty }\frac{x\sin (yx)}{x^2+1}dx.\end{align*}$

                        而
                                  $\displaystyle I'(y)=\int_{0}^{\infty }\frac{x\cos(yx)}{x(x^2+1)}dx,$

                                  $\displaystyle I''(y)=-\int_{0}^{\infty }\frac{x\sin(yx)}{(x^2+1)}dx,$

                       代入前面等式，得
                                   $\displaystyle \therefore I(y)-I''(y)=\frac{\pi}{2}.$

                         解二阶微分方程，并注意到有初始值
                                      $\displaystyle  I(0)=0,I'(0)=\frac{\pi}{2}.$

                               得
                                   $\displaystyle I(y)=\frac{\pi}{2}(1-e^{-y}).$

                                   $\displaystyle \therefore I(1)=\frac{\pi}{2}(1-e^{-1}).$

京都大学2019年一道积分题


解：
                   $\displaystyle \lim_{t\to +0}t^2\int_{t}^{1}\frac{f(s)}{s^3}ds=\lim_{t\to +0}\frac{\displaystyle \frac{-f(t)}{t^3}}{-\frac{2}{t^3}}=\frac{1}{2}f(0).$

华南师范大学2020数学分析


解：1、
                              $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{n^2\sin n}{n^3+n^2-1}=\lim_{n \to \infty }\frac{\sin n}{n}=0.$


       2、
                               $\displaystyle \because 2^n=(1+1)^n=1+n+\frac{n(n-1)}{2!}+\cdots +\frac{n(n-1)\cdots 2}{(n-1)!}+1,$

                                $\displaystyle \therefore \frac{n!2^n}{n^{n+1}}=\frac{n!}{n^{n+1}}+\frac{n!}{n^n}+\frac{n!\cdot n(n-1)}{n^{n+1}\cdot 2!}+\cdots +\frac{n!\cdot n(n-1)\cdots 2}{n^{n+1}\cdot (n-1)!}+\frac{n!}{n^{n+1}}.$

                显然，每一项中分子与分母数字的个数相同，但分子中每个数字都小于$n$,由此
                                $\displaystyle \Rightarrow \lim_{n \to \infty }\frac{n!2^n}{n^{n+1}}=0.$


       3、                  
                               $\displaystyle \lim_{n \to \infty }n(\sqrt[n]{3}-1)=\lim_{n \to \infty }n(\frac{1}{n}\ln3+o(\frac{1}{n}))=\ln3.$

华南师范大学2020数学分析


解：
      3、
                      $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}2^{\frac{k}{n}}=\int_{0}^{1}2^xdx=\frac{1}{\ln2}\int_{0}^{1}e^{x\ln2}d(x\ln2)=\frac{1}{\ln2}e^{x\ln2}|_0^1=\frac{1}{\ln2}.$


     4、
                     $\displaystyle \lim_{x\to \infty }(\frac{4x+5}{4x+1})^{3x+2}=\lim_{x\to \infty }(1+\frac{4}{4x+1})^{\displaystyle \frac{4x+1}{4}\cdot \frac{4(3x+2)}{4x+1}}=e^3.$