四色定理的一个逻辑证明

当一个国家或二个国家构建了拱桥，桥洞里面接壤着覆盖着一个或多个国家，此时，单独看这被接壤被覆盖的一个或多个国家，它们互相之间一定是肩并肩的并列的左右相邻关系。同时，这被接壤被覆盖的一个或多个国家，和构建了拱桥的国家会有相邻，也和里圈上的国家1相邻。如果，这被接壤被覆盖的一个或多个国家，自己也构建了拱桥，构建了较低层位的拱桥，则会在较低层位上重复上述关系。就是说，上述关系在同一层位上可能有多处的并列的重复性发生，在不同层位上可能有分层的分别的重复性发生，发生在里圈外圈的这个圆环上。这有一点像鱼鳞状，也有一点像熔岩层。

当一个国家或二个国家构建了拱桥，桥墩和拱顶又扎根于里圈上，这就形成了封闭式的桥洞。桥洞里面的国家，与桥洞外面的国家，就处于隔离隔断状态了。此时，构建了拱桥的这一个或二个国家，和桥洞外面的国家会有相邻关系。此时，如果故意忽略了桥洞和桥洞里面的国家，亦即，如果故意忽略了所有拱桥来看，就是这样的结果：外圈上的国家数量=里圈上的国家数量，那么，国家1的“所有邻国”，这些邻国之间，也就一律是肩并肩的并列的左右相邻关系了。

所谓肩并肩的左右相邻，也就是比邻、紧邻、近邻，譬如一排房当中，两家中间一道墙。与此不同的是跨邻、飞邻、远邻，譬如一桥飞架南北，连接两岸交通。所谓相邻接壤，就只有这么二种情况，要么是比邻紧邻近邻，要么是跨邻飞邻远邻。但是，所谓跨邻飞邻远邻，就类似拱桥而已。如果单独看桥墩和拱顶（当二个国家一起构造了桥墩和拱顶），它们是比邻。再单独看桥墩之间，拱顶下面，桥洞里面那些被覆盖被接壤的国家，也仍旧还是比邻----这可能只有一层的比邻，好比就一排房子，也可能是有多层的比邻，桥下还有桥，层层叠叠的，也有点像一栋大楼，有的地方三层，有的地方五层，等等。就是说，国家2等等之间的任何相邻关系，都可以归结为比邻（分层分片的比邻），总是肩并肩的并列着接壤。

共同围绕着接壤着国家1，国家2等等各自进行任意延展，所出现的任何结果，总是只有二种：要么是外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量，要么是外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量。
前一种是外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量，此时，国家2等等互相之间必然是自然是肩并肩的并列着比邻，只有左右相邻。
后一种是外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量，此时，外圈上的国家当中，有一个或多个国家，以自身构造了拱桥，桥洞下面另有一个或多个国家。或者，外圈上的国家当中，有一对或多对国家，二者合力构建了拱桥，桥洞下面另有一个或多个国家。或者，以上兼而有之。这样的拱桥有一处或者多处，每处有一个或多个桥洞。这也是第一批或第一层的拱桥。
换句话说，这后一种情况，是在前一种情况的基础上，又在那些外圈上的国家之下面（当某个国家独自构造了拱桥，当某对国家合力构造了拱桥），插入了另外的国家，没有出现在外圈上的那些国家。这也是第一批或第一层的插队者。此时，外圈上的国家之间总是肩并肩并列的比邻关系，同一个桥洞当中的同一批同一层的插队者之间也总是肩并肩并列的比邻关系，亦即只有左右相邻。
进而，这第一批第一层的插队者也可能再建拱桥，又可能有第二批第二层的拱桥，相应会有第二批第二层的插队者。此时，外圈上的国家之间总是肩并肩并列的比邻关系，同一个桥洞当中的同一批同一层的插队者之间也总是肩并肩并列的比邻关系，亦即只有左右相邻。同样，第三批第三层的插队者，第四批第四层的插队者，等等，以此类推，都是如上，都是如此。
并且，在任何批次任何层次出现了拱桥，则拱桥形成覆盖，封闭，阻断，桥洞里面的国家被覆盖，被封闭，被阻断。
所以，概括来说：站在外圈往下来看，总是看到国家2等等都是肩并肩的比邻（那些不是外圈上的国家在桥洞里面，被遮盖遮挡了）。站在里圈往上来看，也总是看到国家2等等都是肩并肩的比邻（在比肩而邻的外圈国家之队列当中，在比肩而邻的外圈国家之拱桥下面，夹杂着另一些国家的比肩而邻）。
总之，国家2等等各自进行任意延展，所出现的任何结果，总是比肩而邻，都是左右相邻。无论国家2等等，各自有多少面积，各自是什么形状，当它们共同围绕着接壤着国家1，被“约束”在这个邻国圈的圆环里，那就只有一种情况，其实只有一种情况：一个层次（当外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量）或多个层次（当外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量）的比肩而邻。换言之，这就是一整圈连续性（当外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量）或阶段式断续性（当外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量）的左右相邻。

回到前面的图1来看，图1的右半部分是外圈里圈的平行线，这是邻国圈的局部，是圆环的一段。序号②代表国家2的一些国土及国界，③代表国家3的，④代表国家4的，等等。图1中，国家2、国家3到达了外圈，形成了拱顶，有扎根在里圈上的桥墩，桥墩里面，拱顶下面，有被国家2、国家3覆盖的一些国家。当然，国家2下面，国家3下面，也可能没有覆盖一些国家。
国家2自己构造了一个拱桥，拱桥有一个桥洞（也可能有多处桥洞），桥洞里面有一个国家4（还可能有更多国家）。国家4被国家2覆盖封闭了，只和国家2相邻。如果国家4上面另有国家8等等，则国家4可能被国家8等覆盖，国家4就难以和国家2相邻。如果国家4下面另有国家9等等，则国家9可能被国家4覆盖，国家9难以和国家2相邻。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。国家2和国家3合力构造了一个拱桥，拱桥里面下面有或多或少的国家，例如有邻国圈的成员国，是国家5、国家6、国家7等等，例如有邻国圈的非成员国，是一些其他国家。国家5、国家6、国家7等等当中，如果是存在肩并肩比邻关系的，那自然就是肩并肩的比邻关系。国家5、国家6、国家7等等当中，凡是和国家2有接壤，或者和国家3有接壤，或者和国家2、国家3都有接壤的，则这样的国家之间，肯定是肩并肩的比邻关系。国家5、国家6、国家7等等内部，如果有例外，不是肩并肩的比邻关系，则肯定是在更下一层的拱桥当中了，是桥下有桥了。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。
情况就是这样，类型就是这样，无非是拱桥的出现次数问题，出现规模问题，是若干处，若干层，等等而已。

修改了一下，重新发一下，


回到前面的图1来看，图1的右半部分是外圈里圈构成的平行线，这是邻国圈的局部，是圆环的一段。序号②代表国家2的一些国土及国界，③代表国家3的，④代表国家4的，等等。图1中，国家2、国家3到达了外圈，形成了最高最上面的拱顶，还有扎根在里圈上的桥墩。在桥墩里面，拱顶下面，有被国家2、国家3覆盖的一些国家。当然，国家2下面，国家3下面，也可能没有覆盖一些国家。

国家2自己构造了一个拱桥，拱桥有一个桥洞（也可能有多个桥洞），桥洞里面有一个国家4（还可能有更多国家）。国家4被国家2覆盖封闭了，只和国家2相邻。如果国家4上面另有国家8等等，则国家4可能被国家8等覆盖，国家4就难以和国家2相邻。如果国家4下面另有国家9等等，则国家9可能被国家4覆盖，国家9难以和国家2相邻。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。

国家2和国家3合力构造了一个拱桥，拱桥里面下面有或多或少的国家，例如有邻国圈的成员国，是国家5、国家6、国家7等等，例如有邻国圈之外的非成员国，是一些其他国家。国家5、国家6、国家7等等当中，如果是存在肩并肩比邻关系的，那自然就是肩并肩的比邻关系。国家5、国家6、国家7等等当中，凡是和国家2有接壤，或者和国家3有接壤，或者和国家2、国家3都有接壤的，则这样的国家之间，肯定是肩并肩的比邻关系。国家5、国家6、国家7等等内部，如果有例外，不是肩并肩的比邻关系，则这肯定是，在更上面有拱桥，或者在更下面有拱桥，或者兼而有之，是桥下有桥了，是有多层次的拱桥了。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。

图1当中，仅以国家2、国家3等等为例，以简单的情况为例，代表了圆环上任何地带所可能出现的一切可能情况。情况就是这样，类型就是这样，就是或多或少的拱桥，或多或少的桥洞，若干层的拱桥，分别覆盖若干个的国家，等等而已，无非就是拱桥的出现≥0。

当拱桥的出现=0，没有任何拱桥，亦即外圈上的国家数量=里圈上的国家数量，情况就很简单了，所以，这种简单的情况可以忽略，可以不予考虑。而复杂的情况，无论出现的概率是大是小，一定是必然出现。所以，下面主要考虑拱桥的出现＞0的情况。

那么，如上所述，当拱桥的出现＞0的时候，无论拱桥的规模大小，层次多少，无论国家2等等各自有任何的延展，任何的形状，它们总是肩并肩的比邻关系，只有左右的相邻。无非是分段来看而已，从这一大段的这种比邻关系，接续到那一大段的那种比邻关系，一段接一段，这样走完整个圆环。换言之，另外再看再说，就是以外圈上的国家数量=里圈上的国家数量为基础，为前提，向外圈上的国家下面，从这些最高最顶层的拱桥开始，分批次分层次，插入或多或少的拱桥，插入或多或少的国家，也就行了。

国家5、国家6、国家7等等当中，凡是和国家2有接壤，或者和国家3有接壤，或者和国家2、国家3都有接壤的，则这样的国家之间，肯定是肩并肩的比邻关系。

上述这句话说错了。这句话应该删掉。

又修改了一下，再重新发一下，




回到前面的图1来看，图1的右半部分是外圈里圈构成的平行线，这是邻国圈的局部，是圆环的一段。序号②代表国家2的一些国土及国界，③代表国家3的，④代表国家4的，等等。图1中，国家2、国家3到达了外圈，形成了最高最上面的拱顶，还有扎根在里圈上的桥墩。在桥墩里面，拱顶下面，有被国家2、国家3覆盖的一些国家。当然，国家2下面，国家3下面，也可能没有覆盖一些国家。


国家2自己构造了一个拱桥，拱桥有一个桥洞（也可能有多个桥洞），桥洞里面有一个国家4（还可能有更多国家）。国家4被国家2覆盖封闭了，只和国家2相邻。如果国家4上面另有国家8等等，则国家4可能被国家8等覆盖及封闭，国家4就难以和国家2相邻。如果国家4下面另有国家9等等，则国家9可能被国家4覆盖及封闭，国家9难以和国家2相邻。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。


国家2和国家3合力构造了一个拱桥，拱桥里面下面有或多或少的国家，例如有邻国圈的成员国，是国家5、国家6、国家7等等，例如有邻国圈之外的非成员国，是一些其他国家。国家5、国家6、国家7等等当中，如果是存在肩并肩比邻关系的，那自然就是肩并肩的比邻关系。国家5、国家6、国家7等等当中，如果有例外，不是肩并肩的比邻关系，则这肯定是，在更上面有拱桥，或者在更下面有拱桥，或者兼而有之，是桥下有桥了，是有多层次的拱桥了。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。


图1当中，仅以国家2、国家3等等为例，以简单的情况为例，代表了圆环上任何地带所可能出现的一切可能情况。情况就是这样，类型就是这样，就是或多或少的拱桥，或多或少的桥洞，若干层的拱桥，分别覆盖若干个的国家，等等而已，无非就是拱桥的出现≥0。


当拱桥的出现=0，没有任何拱桥，亦即外圈上的国家数量=里圈上的国家数量，情况就很简单了，所以，这种简单的情况可以忽略，可以不予考虑。而复杂的情况，无论出现的概率是大是小，一定是必然出现。所以，下面主要考虑拱桥的出现＞0的情况。


那么，如上所述，当拱桥的出现＞0的时候，亦即外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量，此时，无论拱桥的规模大小，层次多少，无论国家2等等各自有任何的延展，任何的形状，它们总是肩并肩的比邻关系，就只有左右的相邻。无非是分段来看而已，从这一大段的这种比邻关系，接续到那一大段的那种比邻关系，一段接一段，这样就能走完整个圆环。这有点类似于，一排平房紧挨一栋楼房，诸如此类，这么接续，形成一圈建筑，等等。换句话说，另外再看再说，就是以外圈上的国家数量=里圈上的国家数量这种单纯的标准的情况为基础为前提，向外圈上的国家之下面，从这当中的最高最顶层的拱桥开始，从外圈到里圈，从上到下，从高到低，分批次分层次，插入或多或少的拱桥，插入或多或少的国家，也就行了，也就全面彻底表达了有关的相邻关系。

国家2等等，这些国家1的邻国，都在里圈上和国家1相邻。里圈到外圈，是国家2等等之间的相邻关系，而这个相邻关系，又总是肩并肩的比邻，只有左右的相邻。这就是一个国家的情况，亦即，以任意一个国家为中心，围绕这个中心构建一个邻国圈，有任意数量的成员国，成员国各自有任意形状，由此可能出现的所有的相邻关系，就是这样了。

国家5、国家6、国家7等等当中，凡是和国家2有接壤，或者和国家3有接壤，或者和国家2、国家3都有接壤的，则这样的国家之间，肯定是肩并肩的比邻关系。

上述这句话说错了。这句话应该删掉。

上述话应该没错。一个天花板上随机布满白色和粉色的斑点，地板上随机布放一些可伸缩的立柱，立柱直通天花板，分别顶着天花板的某处某点，此时，这些立柱之间肯定是平行的并列的关系。

但是，现在天花板下面增添了吊顶，此时，有一些立柱就触及不到天花板了，是顶着吊顶了。

此时，这些立柱之间，也是平行的并列的关系。

国家2等等，这些国家1的邻国，都和国家1相邻于里圈。里圈到外圈，是国家2等等之间的相邻关系，而这个相邻关系，又总是肩并肩的比邻，只有左右的相邻。这就是一个国家的相邻情况，亦即，以任意一个国家为中心，围绕这个中心构建一个邻国圈，邻国圈有任意数量的成员国，成员国各自有任意形状，由此可能出现的所有的相邻关系，就是这样了。

下面开始上色。

对任一邻国圈，红黄蓝绿四种颜色够用吗？不需要预备第五种颜色吗？

国家1是中心，里圈上有它的所有邻国是国家2等等，外圈是这个邻国圈的对外边界。

国家1可以填涂红黄蓝绿之一，设为红色。剩余黄蓝绿三色，留给国家2等等来选用。

国家1如果有一个邻国，是国家2，可以填涂黄蓝绿三色之一，譬如黄色。

国家1如果有二个邻国，是国家2、国家3，此时，后者它们要么都在外圈上出现，要么只出现一个。如果外圈上出现二个国家，说明没有拱桥，此时里圈分为首尾相连的二大段，它们各占一段，可以填涂黄蓝绿三色之二，譬如黄蓝，或蓝黄、黄绿、绿黄、绿蓝，蓝绿。如果外圈上出现一个国家，例如是国家2，说明有拱桥，且只有一处，且只有一层，且桥洞只有一个。此时，国家2构造了拱桥，拱桥下面是国家3。此时，里圈分为首尾相连的二大段，它们各占一段，可以填涂黄蓝绿三色之二，譬如黄蓝。

国家1如果有三个邻国，是国家2、国家3、国家4，此时，后者它们要么都在外圈上出现，要么只出现二个，要么只出现一个。
如果外圈上出现三个国家，说明没有拱桥，此时里圈分为首尾相连的三大段，它们各占一段，各用一色，合计用黄蓝绿三色。
如果外圈上出现二个国家，例如是国家2、国家3，说明有拱桥。拱桥设由国家2独自构造，或者是由国家2、国家3合力构造。
当国家2独自构造拱桥，国家2自己分成一个拱顶、二个桥墩，桥洞里面覆盖封闭着国家4。此时在里圈上来看，国家2有二个桥墩占二段边界，国家3有一段，国家4有一段，合计四条线段，并首尾相连，闭合着里圈，包围着里圈，围绕着国家1。此时，暂时省略拱桥、桥洞，专门看国家2和国家3，它俩是比肩而邻，左右相邻。此时，再单独看拱桥下面，桥洞里面，是有二个桥墩（都属于国家2），一个国家4。暂时省略拱顶，则作为二个桥墩的国家2，和桥洞里面的国家4，,这仨也是比肩而邻，左右相邻。此时，这四条线段，分属三个国家，可各用一色，合计用黄蓝绿三色。
当国家2和国家3合力构造拱桥，国家2构成一个桥墩，国家3构成另一个桥墩，它俩共同构造了拱顶（各占或多或少的跨度），拱顶的下面，桥墩之间，桥洞的里面，是国家4。暂时省略拱顶来看，则一个桥墩是国家2，桥洞里是国家4，另一个桥墩是国家3，这仨也是比肩而邻，左右相邻。此时，在外圈上来看，国家2和国家3比肩而邻，左右相邻，则国家2和国家3二者必须异色。在里圈上来看，在外圈和里圈的中间来看，国家2、国家4、国家3是比肩而邻，左右相邻，则国家2和国家4二者必须异色，国家4和国家3二者必须异色。此时，先填涂外圈上的国家2、国家3，为黄蓝二色，再填涂国家2、国家3之间的国家4，为绿色，合计用黄蓝绿三色。
如果外圈上出现一个国家，例如是国家2，这说明有拱桥，且拱桥是一层或多层（在这里是二层），桥下有国家3、国家4。
当拱桥只有一层，说明国家2构造了拱桥，拱桥下面有一个桥洞，内有国家3、国家4，或者，拱桥下面有二个桥洞，国家3在这一个桥洞，国家4在另一个桥洞。此时，先填涂作为拱顶的国家3，可填涂黄色，其次填涂作为桥墩的国家（这和作为拱顶的有关国家同色），再次填涂桥洞里的国家，而桥洞里的国家总是被拱顶和桥墩给有所覆盖封闭隔离着。若只有一个桥洞，则国家3和国家4相邻，可填涂蓝绿二色。若有二个桥洞，国家3和国家4二者被拱顶、桥墩和里圈给隔离，二者互不相邻，可一律填涂为蓝色，或者一个填涂蓝色，另一个填涂绿色。
当拱桥是有二层，说明桥下有桥。国家2构造了最高层、第一层的拱桥，拱桥里面例如是国家3。国家3自己也构造了拱桥，这是次高层、第二层的拱桥，拱桥里面是国家4。此时，先从最高层、第一层开始填涂，则国家2可填涂黄色。再填涂次高层、第二层，则国家3可填涂蓝色。之后，填涂更低层位、最低层位，在这里就是国家4了，则国家4被国家3覆盖，与国家2隔离，可以填涂黄色，或者填涂绿色。

国家1有一个邻国，或二个邻国，或三个邻国，各自相邻的全部情况就是这样。在任何可能的情况下，国家2等等不会超出三色，预备黄蓝绿三色就够用了。就国家1为中心的整个邻国圈来看，预备红黄蓝绿四种颜色就够用了。

以上是简单的情况，国家1顶多有三个邻国的情况。在邻国更多的情况下，也不会超出上述情况的类型，而不过是数量上的变化，拱桥及桥墩、桥洞出现的次数更多，层数更多，如此而已，仅此而已。